§2.1. Скалярные и векторные поля |
1. Скалярное поле Если каждой точке 2. Векторное поле Если каждой точке Определение: Кривая L называется векторной линией векторного поля 3. Градиент и производная по направлению Здесь и в дальнейшем будем полагать, что функции, задающие скалярные и векторные поля имеют непрерывные частные производные первого порядка. Данное определение градиента связано с выбором системы координат, но на самом деле вектор grad U не зависит от выбора системы координат, поскольку его направление указывает на направление наибольшего роста скалярной величины U, а его длина равна скорости роста величины U вдоль этого направления. 4. Дивергенция Определение: Дивергенцией векторного поля
Где P, Q, R – компоненты вектора Данное определение дивергенции связано с выбором системы координат; далее будет показано, что 5. Ротор (вихрь) Определение: Ротором векторного поля Будет показано, что ротор тоже не зависит от системы координат. 6. Циркуляция Пусть в области G задано векторное поле и пусть AB – кривая, целиком лежащая в области G. Рассмотрим следующий интеграл: Такой интеграл называется циркуляцией вдоль векторного поля вдоль кривой AB. 7. Поток Пусть в области G задано векторное поле Определение: Поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности Называется потоком векторного поля 8. Инвариантное определение дивергенции Введем вектор Рассмотрим произвольную точку M и окружим эту точки гладкой поверхностью P, которая ограничивает область G, где находится точка M. Обратимся к формуле Остроградского-Гаусса и применим для нее формулу среднего значения, то есть для некоторой точки M* (такая точка найдется), справедливо следующее равенство: Будем теперь стягивать поверхность P к точке M, так, что Полученная формула показывает, что поток векторного поля и объем 9. Инвариантное определение ротора Теперь воспользуемся формулой Стокса: Введем вектор Рассмотрим произвольную точку M, проведем через точку M плоскость и окружим точку M некоторым замкнутым контуром L, лежащим в этой плоскости. Запишем для поверхности P формулу Стокса и запишем формулу среднего значения: Так как циркуляция векторного поля и Теорема 1 (о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования) Пусть: 1. Функции P(X,Y,Z), Q(X,Y,Z), R(X,Y,Z) определены и непрерывны в области G , тогда следующие три условия являются эквивалентными (т. е. из каждого условия следуют два других): 1) Для любого замкнутого контура LÎG; 2) Для любых двух точек A, BÎG 3)
При этом выполняется 2. Если, кроме того, область G является поверхностно односвязной областью, а функции P, Q и R имеют области G непрерывные частные производные первого порядка, то каждое из условий 1-3 эквивалентно последующему условию.
|