§3.13. Мера Жордана. Кратные интегралы

Опр.: Мера Жордана – длина на прямой, площадь на плоскости, объём в пространстве.

I Í R

I ¹ Æ I=[a, b]

I=(a, b], J=[a, b)

J=(a, b)

Обозначим m(J) =b-a

J = Æ Þ m(J)=0

Рассмотрим RN, N³2

Q Í RN: x1 Î J­1, … , xn Î J­n, где J­1, … , J­n – связанные, ограниченные.

M(Q)=m(J1)…m(Jn)

M(Q)³0

D Í RN­­

, где Qk – параллелепипед;

D – элементарная фигура

M(D) не зависит от того, каким способом разбиваем параллелепипед, и называется мерой Жордана для элементарной фигуры.


D1,D2 – элементарные фигуры Þ - элементарные фигуры.

D – элементарная фигура Þ , Int(D), D-элементарные фигуры.

M(D) = 0; M(int(D))=m(D)

A-ограниченное множество.

Рассмотрим все возможные элементарные фигуры.

A Í D

- множество всех фигур, описывающих A

- верхняя мера Жордана множества A

У " ограниченного множества есть

D Í A

-множество всех вписанных в A фигуру

-нижняя мера множества A (есть у " ограниченного множества)

Опр.: Множество A называется измеримым по Жордану, если оно ограниченно и

Обозначим M(A) - мера Жордана измеряемого множества M(A)>0

A1,A2-измеримые множества Þ - измеримые множества.

A1-измеримое множество

A2 получено из A1 параллельным переносом и поворотом Þ M(A2)=m(A1)

Множество не измеримо по Жордану.

Теорема

Множество A измеримо по Жордану Û для " E >0 можно указать такие элементарные фигуры D1 И D2, что

D1 Í A Í D2; m(D2)-m(D1)<E, т. е.

" E >0 $ D1, D2: D1 Í A Í D2:

m(D2)-m(D1)<E.

Док-во:

1. Пусть A – измеримо Þ A –ограниченно Þ

Фиксируем E > 0.

Выберем

Þ m(D2)-m(D1)<E

2. E > 0; D2, D1; m(D2)-m(D1)<E.

Т. к. E произвольно, то Þ A – измеримо по Жордану.

Ч. т. д.

Теорема

A – измеримо по Жордану Û оно ограничено, и мера границы = 0, т. е.

Вспомогательное утверждение:

A – измеримо;

Ak – измеримо

Обозначение:

- диаметр множества.

A({Ak})=Max(D(Ak))

B Í A, .

Тогда " E > 0 $ D > 0: " {Ak}, если D({Ak}) < D, то

Доказательство теоремы:

1. Предположим, что

A - Измеримое Þ A- ограничено.

Согласно 1-ой теореме Вейерштрасса можно указать

D1 Í A, A Í D2

E > 0

M(D2)-m(D1)<E

=M(D2)-m(D1)<E (по построению)

Þ

2.Предположим, что

A ограничено, и

Значит всегда можно указать параллелепипед Q.

Фиксируем E>0.

Используя утверждение, построим разложение Q

;

Qk параллелепипеды, такие, что

(по построению)

Согласно предыдущей теореме A- измеримо.

Ч. т. д.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!