§1.20. Частные производные высших порядков

Опр. Функция называется n раз дифференцируемой в некоторой точке , если все частные производные n-1 порядка являются дифференцируемыми в точке .

Достаточное условие дифференцируемости

Функция является n раз дифференцируемой в некоторой точке , если все частные производные функции U n-1 порядка являются непрерывными в точке .

Теорема (о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования)

Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой точке , тогда справедливо следующее соотношение:

(в точке )

Док-во:

Рассмотрим вспомогательное выражение

Функция Ф(x) может быть рассмотрена, как приращение вида:

Где .

Функция является дифференцируемой функцией на

Сегменте , поэтому по формуле Лагранжа для функции одной переменной

Тогда на рассматриваемом сегменте есть такая точка, что

, где 0<θ<1

Добавим и вычтем в точке .

Поскольку функция дифференцируема, то ее приращение пропорционально приращению аргумента

,

Где -бесконечно малые при .

Второй раз применим формулу Лагранжа.

Аналогичным образом выражение Ф представимо, как приращение функции ψ.

, где

Процедура стереотипна.

Получается следующее выражение:

- 1 случай

- 2 случай

Где - бесконечно малые.

Приравниваем и сопоставляем.

- часть Ф порядка малости .

Ч. т. д.

< Предыдущая		Следующая >