1.3.6. Несчетные множества. Мощность континуума

Теорема (Кантор).

Множество всех действительных чисел из отрезка -- несчетно.

Доказательство. Представим все числа в двоичной системе счисления в виде бесконечных 2–ых дробей (в случае конечных дробей дополним справа нулями до бесконечности). Предположим, что количество рассматриваемых чисел счетно. Расположим их в порядке возрастания номеров:

5) . . . . . . . . . . .

Здесь везде --- 0 или 1.

Рассмотрим число ,

Где ( т. е. , если , и

, если ).

Легко видеть, что этого числа нет среди пронумерованных, так как оно отличается от 1-го числа в 1-ом разряде, от второго – во 2-ом разряде, от третьего – в 3-ем разряде,… Полученное противоречие показывает, что множество действительных чисел из отрезка не является счетным.

Определение. Мощность множества действительных чисел отрезка называется мощностью Континуума.

Примеры.

1) Множество всех действительных чисел R имеет мощность континуума.

Доказательство. Прежде всего, отметим, что любые два отрезка равномощны. Это следует, например, из того, что отображение биективно переводит отрезок в отрезок . Далее получаем биекцию , определяемую, например, формулой .

2) Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума, так как оно равно а Q – счетно.

3) Множество трансцендентных чисел имеет мощность континуума. Действительно, оно равно R\A, где A – счетное множество алгебраических чисел.

4) Множество комплексных чисел C.

5) Множество непересекающихся окружностей на плоскости.

< Предыдущая		Следующая >