1.2.3. Обратные отображения

Определение. Пусть . Если существует отображение такое, что и , то отображение J называется Обратным К отображению ¦, а отображение ¦ в этом случае называется Обратимым.

Понятно, что в условиях определения обратным к J является ¦. Обозначение: .

Теорема 4 (критерий обратимости отображения).

Отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение биективно. Так как оно сюръективно, то " есть хотя бы один прообраз из Х. Но в силу инъективности все элементы имеют разные образы. Поэтому y0 имеет единственный прообраз Х0. Сопоставив каждому элементу Y из Y его единственный прообраз, получим отображение такое, что если , то . При этом получим "ХÎХ , т. е. ; " , т. е. .

Достаточность. Пусть отображение - обратимое и -- обратное к ¦. Пусть . Применим к данному равенству отображение j: . Таким образом, ¦ -- инъективно.

Пусть . Найдём прообраз Х0, такой, что. Имеем:

,

где . Тем самым, ¦ -- сюръективно.

Следствие. Если ¦ -- биективно, то и ¦-1 также биективно.

< Предыдущая		Следующая >