1.1.1. Элементы теории множеств. 1. Множества и операции над ними. 1. Основные понятия

Понятие Множества, как и некоторые другие исходные понятия в математике, не определяется. Ему дается описание, которое иллюстрируется примерами.

Под множеством в математике понимается любая совокупность каких-либо объектов. При этом сами объекты, составляющие множество, называются Элементами Множества. Например, можно говорить о множестве яблок в мешке, множестве натуральных чисел, множестве геометрических фигур на плоскости и т. д. Как правило, множество объединяет однотипные элементы (яблоки, числа и т. д.). Но это – не обязательно. Можно рассматривать множества, состоящие из разнородных элементов.

Обычно множества обозначают заглавными латинскими буквами (A, B, C, …), а их элементы -- прописными (A, b, c, …).

Если A -- множество, а A -- его элемент, то пишут: .

Если B не является элементом множества B, то пишут: .

Примеры.

1. М1 — множество действительных чисел R.

2. М2 — множество решений уравнения.

3. М3 — множество чисел вида , где (Z - множество целых чисел).

4. М4 — футбольная команда «Динамо-Минск» (т. е., множество футболистов этой команды).

5. М5 — множество всех футбольных команд высшей лиги.

6. М6 — множество русских слов из словаря В. И. Даля.

7. М7 — множество равносторонних треугольников.

8. М8 — множество равноугольных треугольников.

Множество B называется подмножеством множества A, если всякий элемент множества B принадлежит множеству A. В этом случае пишут: .

Множества A и B называются Равными, если их элементы совпадают.

Легко видеть, что равенство множеств Имеет место тогда и только тогда, когда и . Именно в проверке последних двух условий заключается основной способ доказательства равенства двух множеств.

Примеры: М2 = М3; М7 = М8.

Если , но , то B называется Собственным подмножеством множества A, и это записывается: .

Множества могут быть конечными и бесконечными. Число элементов конечного множества A называется его Мощностью И обозначается .

Множество мощности 0, т. е. не содержащее никаких элементов, называется Пустым Множеством И обозначается: Æ. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества A, поскольку невозможно указать ни одного элемента Æ, который бы не принадлежал множеству A. Нетрудно видеть, что справедлива

Лемма. Пустое множество единственно.

Доказательство. Действительно, если Æ1, Æ2 — два пустых множества, то согласно вышеотмеченному свойству пустого множества (быть подмножеством любого множества) имеем: и , откуда .

Следующая >