01. Геометрия гладких многообразий

Пусть – гладкое -мерное многообразие и – произвольная точка в нем. Говорят, что на многообразии дана Кривая, если имеется непрерывное отображение интервала в Пусть – локальные координаты в окрестности точки . Тогда кривая в локальных координатах может быть записана в виде . Кривая называется Гладкой, если все функции , определяющие эту кривую, гладкие. Пусть кривая проходит через точку , мы можем считать, что .

Касательным вектором к кривой в точке называется вектор .

Пример 1. Отображение , заданное следующим образом

Называется винтовой линией в . Очевидно, что это гладкая кривая и касательный вектор к ней в точке есть .

Отметим, что выражение касательного вектора в данной точке зависит от координатной карты. Действительно, пусть – другие локальные координаты в окрестности точки . Тогда при переходе от карты к карте координаты вектора преобразуются по закону , который легко следует из правила дифференцирования сложной функции.

Различным кривым, проходящим через точку , соответствуют, вообще говоря, различные касательные векторы. Но возможна также ситуация, когда две различные кривые в общей точке имеют одинаковые касательные векторы, например винтовая линия из примера 1 и прямая в общей точке имеют одинаковые касательные векторы .

Все касательные векторы многообразия в точке образуют векторное пространство, которое называется Касательным пространством к в точке и обозначается . Размерность касательного пространства равна размерности гладкого многообразия .

Мы можем рассмотреть следующую -ю координатную кривую в многообразии : и через обозначить ее касательный вектор в точке . Тогда векторы образуют базис касательного пространства в точке .

Любой вектор на многообразии можно рассматривать как Дифференциальный оператор, действующий на гладких функциях. Вектор переводит функцию в число . Производные вычисляются в той точке, где задан касательный вектор . Это определение не зависит от выбора карты. Действительно, . Здесь мы используем следующее сокращенное правило суммирования : если в некотором выражении индекс входит дважды, один раз как верхний, а другой раз как нижний, то по нему подразумевается суммирование.

Лемма. Если дифференциальный оператор Инвариантен относительно выбора карты, то его коэффициенты Образуют вектор.

Доказательство. Из равенства следует, что . Отсюда следует, что , так как предыдущее равенство имеет место для любой функции .

Итак, векторы из находятся во взаимно однозначном соответствии с инвариантными операторами вида .

Говорят, что на многообразии задано Векторное поле , если в каждой его точке задан вектор. В локальных координатах векторное поле задается в виде , Векторное поле называется Гладким, если все функции являются гладкими.

Траекторией данного векторного поля называется такая кривая, что . Из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что найдется такое , что на интервале всегда существует траектория векторного поля . Каждая данная траектория может быть единственным образом продолжена на некоторый максимальный интервал . Если , то траектория называется Полной. Точка , в которой все координаты векторного поля обращаются в нуль , называется Особой точкой векторного поля.

Пример. Рассмотрим на единичной сфере векторное поле . Очевидно, что его траекториями будет семейство параллелей . Все траектории полные. У данного поля две особые точки: и . Из топологических соображений на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек.

Пусть – отображение класса двух гладких многообразий. Для точки определим линейное отображение следующим образом : пусть вектор , где – некоторая кривая в , проходящая через точку , тогда есть кривая в , проходящая через точку . Положим . Данное линейное отображение касательных пространств называется Дифференциалом гладкого отображения в точке и обозначается или .

В локальных координатах на многообразии дифференциал задается с помощью матрицы Якоби следующим образом:

Дифференциал отображения обладает следующим свойством.

Лемма. Имеет место равенство , где и .

Доказательство.

,ч. т.д.

Пример. Рассмотрим так называемые географические координаты на сфере . Пусть и задано отображение следующим образом: . Тогда дифференциал этого отображения в точке имеет вид . При этом дифференциал отображает касательный вектор в вектор , а вектор в вектор . Вектор касателен к параллелям на сфере, а вектор – к меридианам.

Теперь мы изучим геометрию ортогональной группы матриц. Напомним, что квадратная матрица размера с вещественными элементами называется Ортогональной, если . Множество всех ортогональных матриц образует группу, обозначаемую .

Группа вложена в пространство , поскольку любую матрицу можно записать в строку длины . Соотношение равносильно системе из уравнений. Пусть и рассмотрим отображение по формуле . Ясно, что в нулевую матрицу при данном отображении переводятся ортогональные матрицы, следовательно . Вычислим дифференциал отображения .

Для этого рассмотрим кривую , такую что и – данная матрица. Имеем Очевидно, что – симметрическая матрица. Любая симметрическая матрица представима в виде где для некоторой матрицы . Достаточно положить . Итак, образ отображения совпадает с пространством симметрических матриц, следовательно, ранг матрицы Якоби системы, описывающей группу – постоянен. По теореме о неявной функции множество представляет собой гладкое многообразие. Вычислим размерность этого многообразия. Имеем {пространства симметрических матриц}=. Поэтому . В частности, размерность группы являющейся связной компонентой единицы группы , равна 3.

Литература. 1. Трофимов В. В. гл.1 , параграфы 8,9.

2. Бишоп Р. Л., Криттенден Р. Дж. гл.1, 1.3,1.4.

Следующая >