38. Потоки Эрланга

Потоки Эрланга также являются потоками с ограниченным последействием. Они образуются просеиванием простейшего потока.

Суть этого просеивания состоит в следующем. Если изобразить на временной оси простейший поток, поставив в соответствие каждому событию некоторую точку, и выбросить из потока каждую вторую точку, то получим Поток Эрланга первого порядка. Оставив каждую третью точку и выбросив две промежуточные, получаем Поток Эрланга второго порядка и т. д.

Определение. Потоком Эрланга K – порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить в простейшем потоке каждую (K + 1) – ю точку, а остальные выбросить.

Очевидно, что простейший поток может рассматриваться как поток Эрланга нулевого порядка.

Пусть имеется простейший поток с интервалами Т1, Т2, … между событиями. Величина Т – промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга K – го порядка.

Очевидно, что . Так как первоначальный поток – простейший, то случайные величины Т1, Т2, … распределены по показательному закону:

Обозначим Fk(T) плотность распределения величины Т для потока Эрланга K – го порядка. Если умножить эту плотность на элементарный отрезок времени Dt, мы получим вероятность того, что величина Т примет значение в некоторой сколь угодно малой окрестности точки T- (T, T + Dt). На этот участок должна попасть конечная точка промежутка, а предыдущие K точек простейшего потока – на промежуток (0, T).

Вероятность первого события равна , а второго - . Эти события должны осуществиться совместно, значит, их вероятности надо перемножить.

Полученный закон распределения называется Законом распределением Эрланга K- го порядка.

При K = 0 получаем показательный закон распределения.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение для распределения Эрланга находятся по формулам:

Плотность потока Эрланга равна

Для промежутка времени между двумя соседними событиями в потоке Т рассмотрим нормированную величину . Такой поток будет называться Нормированным потоком Эрланга.

Закон распределения для такого потока будет иметь вид:

,

Математическое ожидание и дисперсия будут равны:

Получается, что неограниченном увеличении K нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными .

Изменение порядка нормированного потока Эрланга позволяет получить различную степень последействия. Последействие возрастает с увеличением K.

На практике это удобно для приближенного представления реального потока с каким – либо последействием потоком Эрланга. При этом порядок этого потока определяется из того соображения, чтобы характеристики потока Эрланга (математическое ожидание и дисперсия) совпадали с характеристиками исходного потока.

Яндекс.Метрика