68. Ряды Тейлора и Лорана

(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)

Функция f(z), аналитическая в круге , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0).

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется Рядом Тейлора.

Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:

Ряд такого вида называется Рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:

Ряд, определяющий функцию F1(X), называется Правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию F2(X), называется Главной частью Ряда Лорана.

Если предположить, что R = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом круге за исключением центральной точки z0. Как правило, в этой точке функция бывает не определена.

Тогда точка z0 называется Изолированной особой точкой Функции F.

Рассмотрим следующие частные случаи:

1) Функция f(x) имеет вид: . Т. к. степенной ряд сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f1(x) определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z0.

В этом случае говорят, что Особенность функции F В точке Z0 устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z0) = c0) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре.

В этом случае для любого контура L, содержащего точку z0 и принадлежащего к кругу .

2) Функция f(x) имеет вид: .

В этом случае точка z0 называется Полюсом функции F(Z) порядка (кратности) M. При m = 1 точку z0 называют еще Простым полюсом.

Порядок полюса может быть определен по формуле:

z0 – полюс порядка Т.

3) Функция f(z) имеет вид , где в ряду не равно нулю бесконечное количество коэффициентов С-K.

В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z0 Существенно особую точку.

Определение. Пусть z0 – изолированная особая точка функция f(z), т. е. пусть функция f(z) – аналитическая в некотором круге из которого исключена точка z0. Тогда интеграл

Называется Вычетом функции f(z) в точке z0, где L – контур в круге , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z0.

Вычет также обозначают иногда .

Если есть ряд Лорана функции f в точке z0, то .

Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки.

В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.

Например, если функция , а имеет простой нуль при z = z0 , то z = z0 является простым полюсом функции f(z).

Тогда можно показать, что вычет находится по формуле

Если z = z0 – полюс порядка m ³ 1, то вычет может быть найден по формуле:

Пример. Найти вычет функции относительно точки z = 2.

Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:

< Предыдущая		Следующая >