26. Уравнение колебаний струны

Определение. В математической физике Струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении.

Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении.

Допустим, что в момент t0 = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания.

Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как

u

C

B a

A

D

0 a x x+Dx b x

На произвольный элемент длины нити (х, х + Dх) действуют две силы натяжения

и . При этом:

Если считать колебания малыми, то можно принять:

Тогда проекция силы На ось U:

Проекция силы на ось U:

Находим сумму этих проекций:

Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа ( см. Теорема Лагранжа ) к выражению, стоящему слева.

Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:

Где r - плотность струны.

Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:

Или

Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция U(X, T) должна еще удовлетворять Граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках X = A И X = B) и Начальным Условиям, описывающим состояние струны в момент времени T = 0.

Совокупность граничных и начальных условий называется Краевыми Условиями.

Таким образом, задача Коши состоит в Нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях

И краевых условиях

.

Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени.

Функции F(X) и F(X) заданы.

Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l

Яндекс.Метрика