17. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Определение. Линейным дифференциальным уравнением N – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции У и ее производных вида:

Где P0, P1, …,Pn функции от Х или постоянные величины, причем P0 ¹ 0.

Левую часть этого уравнения обозначим L(Y).

Определение. Если F(X) = 0, то уравнение L(Y) = 0 называется Линейным однородным Уравнением, если F(X) ¹ 0, то уравнение L(Y) = F(X) называется Линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты P0, P1, P2, … PnПостоянные числа, то уравнение L(Y) = F(X) называется Линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Яндекс.Метрика