09. Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение Называется Уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

.

Такое уравнение можно представить также в виде:

Перейдем к новым обозначениям

Получаем:

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):

- это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т. к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается Отличие общего (частного) Интеграла от общего (частного) Решения.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

- верно

Пример. Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2) = 1.

При у(2) = 1 получаем

Итого: или - частное решение;

Проверка: , итого

- верно.

Пример. Решить уравнение

- общий интеграл

- общее решение

Пример. Решить уравнение

Пример. Решить уравнение При условии у(1) = 0.

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям.).

Если у(1) = 0, то

Итого, частный интеграл: .

Пример. Решить уравнение .

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см.Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:

Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

Пример. Решить уравнение .

; ;

Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:

Получаем частное решение

Яндекс.Метрика