47. Определенный интеграл

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

0 a xi b x

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

X0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, … ,xn – xn-1 = Dxn;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn.

Составим суммы:

N = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn =

N = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn =

Сумма называется Нижней интегральной суммой, а сумма – Верхней интегральной суммой.

Т. к. mi £ Mi, то N £ N, а m(b – a) £ N £ N £ M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

X0 < e1 < x1, x1 < e < x2, … , xn-1 < e < xn.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =

Тогда можно записать: MiDXi £ F(EI)DXi £ MiDXi

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим MaxDXi – наибольший отрезок разбиения, а MinDXi – наименьший. Если MaxDXi® 0, То число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если , то

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что MaxDXi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение :

А – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется Интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

< Предыдущая		Следующая >