logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Курс лекций по линейной алгебре Лекция №12. Свойства собственных векторов. Диагонализация матрицы. Сопряжение и Эрмитов операторы и их свойства. Унитарный оператор. Квадратичные формы.

Лекция №12. Свойства собственных векторов. Диагонализация матрицы. Сопряжение и Эрмитов операторы и их свойства. Унитарный оператор. Квадратичные формы.

(1) Теорема 20: если собственные значения линейного оператора различны попарно, то соответствующие собственные векторы линейно независимы.

Доказательство(метод математической индукции):

1)  

2)  

3)  

1.   Рассмотрим один вектор

Докажем, что линейно независим.

2.   . Пусть векторы - линейно независимы.

3.   . Докажем, что - линейно независимы.

Рассмотрим

1.   Умножим на

2.   Подействуем оператором

По условию 2: - линейно независимы.

Так как , то

Возвращаясь к началу условия 3 имеем:

ч. т. д.

Диагонализация.

Пусть оператор

- спектр линейного оператора.

И , тогда

- линейно независимы по теореме 20.

Выберем базисом в совокупность собственных векторов

Если - базис в :

Теорема 21:

Если все корни характеристического уравнения различны, то матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид. В противном случае матрица будет иметь Жорданову форму.

(2) Определение: оператор называется сопряжённым по отношению к оператору , если

Теорема 22: сопряжённый оператор существует для каждого оператора и причём только один.

Доказательство: предположим, что - существует. Тогда согласно определению .

Матрица называется сопряжённой по отношению к матрице , причём

- это Эрмитово сопряжение.

- это комплексное сопряжение.

Свойства Эрмитова сопряжения на матрицах.

1)  

2)  

3)  

4)  

Определение: оператор называется эрмитовым, если или

Если - вещественно, то . эрмитовость сопряжённость

Если , то - антиэрмитова.

 
Яндекс.Метрика
Наверх