logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Курс лекций по линейной алгебре Лекция №09. Ортогональный базис и его свойства. Матрица Грама и её определитель. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Линейный оператор. Операции и свойства.

Лекция №09. Ортогональный базис и его свойства. Матрица Грама и её определитель. Метод ортогонализации Грама-Шмидта. Линейный оператор. Операции и свойства.

5)   Определение: базис в L называется ортогональным, если векторы попарно ортогональны, то есть

Пример:

Теорема 14: Если векторы попарно ортогональны, то они являются линейно независимыми.

Доказательство: Пусть

Докажем, что они линейно независимы.

(нулевая линейная комбинация)

Умножим скалярно на последовательно:

(так как все ) все вектора линейно независимы.

Свойства ортогонального базиса.

Пусть - ортогональный базис.

1)   и

2)  

Если , то

Если , то ; - общий вид задания скалярного базиса в неортогональном базисе.

(2) Матрица Грама.

Рассмотрим совокупность векторов . Поставим вопрос о линейной независимости этих векторов.

Образуем - скалярное произведение.

- матрица Грама.

Теорема 15: Для того, чтобы векторы были линейно независимы, достаточно, чтобы

Однородная система уравнений

- у неё существует только нетривиальное решение при условии, что ; .

Если , то у существует нетривиальное решение, следовательно - линейно независимы.

Геометрический смысл определителя Грама.

Рассмотрим:

- площадь параллелограмма.

- Объём N-мерного параллелепипеда.

(3) Метод ортогонализации Грама-Шмидта.

Любой базис можно ортогонализовать.

Теорема 16: в любом евклидовом пространстве существует ортогональный базис.

Доказательство: пусть - базис в L

1)   Пусть ,

2)   Пусть

3)   Пусть

K)  

(4) Линейный оператор

Оператор: Преобразование - Тождественно

Отображение -

Функционал -

Функция -

...

Рассмотрим L и M - линейные пространства.

Для любого найдём по некоторому правилу . Это правило и есть оператор.

Определение: если для любого ставится соответствие по некоторому правилу , то говорят, что на множестве задан оператор со значениями в .

, если

Определение: оператор называется линейным, если он удовлетворяет двум условиям линейности:

1)  

2)  

- образ множества

- прообраз множества

Если , то называется преобразованием.

- преобразование самого в себя при действии

- матрица

- столбцы

 
Яндекс.Метрика
Наверх