47. Центр поверхности второго порядка

Поставим задачу найти такую систему координат, в которой уравнеие поверхности не содержало бы линейных слагаемых, т. е. . Пусть точка O(x0 y0 z0) это точка начала координат искомой системы. Тогда, вспоминая формулы для параллельного переноса системы координат (*), имеем:

(**)

Эти уравнения называются уравнениями центра поверхности второго порядка. Если координаты центра найдены, то осуществляя параллельный перенос начала координат в центр, получим уравнение поверхности:

Ну и наконец, запишем без доказательства, что всегда существует некоторая декартова система координат, в которой последнее уравнение не содержит членов С X’Y’ ; X’Z’ ; Z’Y’. К этой системе можно прийти путем поворота осей координат координатной системы. В этой системе координат уравнение поверхности примет вид:

Процедура параллельного переноса и последующего поворота системы координат с целью получения этого уравнения называется стандартным упрощением уравнения поверхности.

Заметим, что не всякая поверхность может быть центральной, а лишь та, где I3 ¹ 0.

Действительно, I3 является определителем системы уравнений (**) и для существования единственного решения этой системы по теореме Кронеккера-Капелли I3 не должен быть равен нулю. Если же I3 = 0, то у поверхности нет центральной точки. Ее уравнение может быть сведено к виду

Такая поверхность называется нецентральной.

< Предыдущая		Следующая >