46. Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка будем называть геометрическое место точек в пространстве, удовлетворяющих уравнению:

Где по крайней мере один из A11 A22 A33 ¹ 0. Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка.

Назовем группу слагаемых группой старших членов, а - линейной частью. A44 – свободный член.

Перейдем к новой системе координат с целью упростить общее уравнение.

Сначала осуществим параллельный перенос:

Подставив в общее уравнение, получим:

Где (*)

Важный вывод: при параллельном переносе системы координат коэффициенты при старших членах не изменяются! Преобразуются коэффициенты группы линейных членов по некоторым формулам.

Рассмотрим поворот осей:

Если введем эти координаты в общее уравнение поверхности, сгруппируем члены при различных степенях x’ y’ z’ и получим:

Легко убедиться, если расписать коэффициенты и т. д., что: при повороте сисемы координат коэффициенты старших членов зависят лишь от Mij и старых коэффициентов старших членов, а коэффициенты - зависят только от Mij И , а не изменяется! При этом, если в исходном уравнении коэффициенты были равны нулю, то и будут равны нулю! Другими словами, при параллельном переносе можно упрощать группу линейных членов, а при повороте – упрощать группу старших членов уравнения.

Оказывается, существуют инварианты относительно любого преобразования системы. Это величины:

< Предыдущая		Следующая >