10. Системы линейных уравнений

Рассмотрим в общем случае решение систем линейных уравнений. Дадим несколько определений.

1). Системой m уравнений с n неизвестными называется система вида:

(**)

2). Если в системе (**) все bк (k=1,...m) равны нулю, то такая система называется однородной.

3). Если хотя бы один из них bк0, то система называется неоднородной.

4). Система (**) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной.

5). Совместная система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение и неопределённой - если решений множество.

Итак, начнём с помощью элементарных преобразований сводить расширенную матрицу системы уравнений (**) к треугольному виду. Прежде всего, здесь количество уравнений не равно количеству неизвестных. Значит матрица прямоугольная и вообще говоря, к треугольной не сводится. Второй момент: Вспомним о ранге матрицы. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в ступенчатой матрице, которая получится из исходной элементарными преобразованиями. Т. е. некоторые строки преобразованной матрицы могут остаться нулевыми. В итоге, после учёта этих моментов, можно записать самый общий вид преобразованной матрицы, который только может встретиться:

(***)

Или, условно нарисуем:

Обратим внимание на коэффициент . Может случиться, что это будет 0. А может и нет. Тогда , что невозможно. Значит решений нет, т. е. система несовместна. Поэтому на практике, сразу же после появления соотношения вида можно говорить, что система не имеет решения.

Если , то, покажем, что система имеет решение. Поскольку , то из последнего уравнения можно найти

или [] Из предыдущего уравнения можно найти

[]

И т. д. В итоге:

(****)

Из этих соотношений следует, что xr+1,...,xn могут принимать произвольные значения. Эти неизвестные называются свободными, а x1,...xr - называются основными или главными. Любая совокупность свободных неизвестных и соответствующих им основных будет решением системы. Таким образом, мы доказали теорему:

Теорема Кронекера-Капелли: для того, чтобы система уравнений (**) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы были равны. Далее, предположим мы выяснили, что система уравнений совместна. Тогда возможны два случая:

1) ранг матрицы равен количеству неизвестных R=N. Это возможно, кстати, при mN. В этом случае все неизвестные главные и они равны из (****):

Это означает, что система имеет единственное решение. Система определённая.

2) r<n. В этом случае имеются свободные неизвестные, которые можно задавать произвольно. Значит система имеет бесконечное множество решений, т. е. система неопределённая!

Пример:

1) 0 = -3 !!!