07. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Если число уравнений равно числу неизвестных, то система уравнений

АХ=В (*) имеет квадратную матрицу. Если число уравнений n, то матрица А - квадратная n-ного порядка. Если матрица А невырожденная, , то покажем, что система имеет единственное решение. Т. к. А не вырождена, то существует обратная матрица А-1. Умножим обе части (*) на А-1:

А-1АХ=А-1В

но А-1А=Е, а ЕХ=Х.

Следовательно, решение единственное и выглядит:

Х=А-1В

Понятие линейной зависимости строк

Договоримся строку матрицы Называть линейной комбинацией строк , если для некоторых вещественных чисел справедливы равенства:

(*)

Пример: А=5 1 2

В=2 1 1 А=2В+С

С=1 -1 0

Определение. Строки А=(а1,...,аn), В=(b1,...,bn),...С=(с1,с2,...,сn) называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , не все равные нулю, что справедливы равенства :

(**)

И соответственно строки называются линейно независимыми, если эти равенства возможны, когда все числа равны нулю.

Теорема. Для того, чтобы строки А, В,С были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией остальных строк.

Необходимость. Пусть строки линейно зависимы, т. е. выполняется равенство (**), где хотя бы одно число не равно нулю. Для определённости положим, что . Тогда можно записать:

А это и означает линейную комбинацию строк.

Достаточность. Пусть одна из строк является линейной комбинацией других, т. е.

Перепишем в виде . Т. к. из чисел одно отлично от нуля, то последнее равенство устанавливает линейную зависимость строк.

< Предыдущая		Следующая >