09. Инварианты кривой второго порядка

Инвариантом уравнения (1) относительно преобразования системы координат ОХУ называется такая функция

F(а11, а12, a22, a13, а23, а33),

Которая не меняется при переходе к новой системе координат 0'Х'У'. Таким образом, если f — инвариант, то f(a11,...а33) = f(a'11...а'33).

Теорема. Величины

(6)

Являются инвариантами уравнения (1) линии второго порядка

Относительно преобразований декартовой системы координат.

Доказательство проведем вначале для преобразования параллельного переноса, а затем для преобразования поворота.

Инвариантность I1 и I2 следует из формул (2). Заметим, что из этих формул также следует, что

(7)

Тогда в новой системе координат O’X’Y’

Вычтем из 3-ей строки 1-ю, умноженную на x0, и затем вторую,

Умноженную на у0. Тогда

Теперь из 3-ro столбца вычтем 1-й, умноженный на x0 и второй, умноженный на y0. Получим, что I'3=I3.

Рассмотрим теперь преобразование поворота

Разложим I'3 по элементам 3-го столбца. Получим:

(8)

Распишем каждое из 3-х слагаемых в выражении (1.34), пользуясь формулами (1.31).

(9)

(10)

(11)

Следовательно, из (8) следует, что

(12)

Величины А, В, С, углы α, β и I2 не зависят от угла φ. Значит, при любом повороте системы координат, выражение в правой части (12) не изменяется. С другой стороны, при φ=О, I'3=I3. Это и доказывает инвариантность I3. Теорема доказана.

Определим теперь тип линии в зависимости от знаков инвариантов I1, I2 и I3.

Будем говорить, что

при I2>О, уравнение (1) задает Линию эллиптического типа;

при I2<О, уравнение (1) задает Линии гиперболического типа;

при I2=О, уравнение (1) задает Линии параболического типа.

При параллельном переносе можно попытаться добиться того,

Чтобы в уравнении (3) отсутствовали члены 2а'13х' и 2а'23y'. Из формул (2) следует, что это возможно только в том случае, если система

(13)

Имеет решение.

Уравнения (13) называются уравнениями Центра линии второго порядка. Если х0, у0 — решение (13), то точка 0'(х0,у0) — Центр линии. Если линия имеет центр, то в результате параллельного переноса начала системы координат в точку 0'(х0,у0) уравнение линии примет вид

(14)

Поэтому, если точка М(х',у') удовлетворяет уравнению (14), то и точка М'(—х',—у') также удовлетворяет уравнению (14). Таким образом, центр линии является ее центром симметрии.

Заметим, что если кривая второго порядка имеет центр, то, в силу инвариантности I3, получаем