03. Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2А, А>0, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Выберем декартову прямоугольную систему координат ОХY так, как показано на рисунке. Тогда F1F2=2С, F1(—С,0), F2(C,0).

Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей гиперболе, имеем МF1—MF2=2А, А<С.

Обозначим С2-А2=B2, тогда Каноническое уравнение гипрболы имеет вид:

(3)

По свойствам уравнения (3) исследуем свойства гиперболы:

1. Координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Если у = 0, то x = А. Если х = 0, то уравнение (3) решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А1(—А,0), А2(А,0), называемых Вершинами гиперболы.

3. Так как

,

То |х|А. Поэтому гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x=А.

4. Если x возрастает от А до +, то из (1.12) следует, что у возрастает от 0 до + в первой координатной четверти.

5.

- Наклонные асимптоты гиперболы.

По полученным свойствам строим гиперболу. Отрезок А1А2 и его длина 2А называются Действительной осью гиперболы, а отрезок ОА1 и его длина А — Действительной полуосью. Отрезок В1В2 и его длина 2B — Мнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ1 и его длина B— Мнимая полуось. Длина отрезка F1F2=2С называется фокусным расстоянием, начало координат — Центр гиперболы.

X2—У2=А2

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина

.

Так как для гиперболы с > А, и, следовательно, чем меньше ε, тем более сжата гипербола к оси ОХ.

< Предыдущая		Следующая >