02. Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2А (А>0), большая, чем расстояние между фокусами.

Для составления уравнение эллипса выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось ОХ

Проходила через фокусы F1 и F2, а начало координат — точка О находилась в середине отрезка F1F2.

Обозначим F1F2 = 2с. Тогда F1(-с,0), F2(c,0). Пусть М(х, у) – произвольная точка эллипса. Тогда MF1+ MF2= 2А, а>с.

Так как , и уравнение принимает вид:

. (2)

Пусть координаты точки М1(х1,у1)удовлетворяют уравнению (2).

Обозначим r1 = F1M1, r2 = F2M2 — Фокальные радиусы точек М1 М2. Тогда , , значит, r1+r2=2A.

Теперь по свойствам уравнения (2) исследуем геометрические свойства эллипса.

1. Оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(-А,0), А2(А,0), В1(0,B), В2(0,-B), называемых Вершинами эллипса.

3. Эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х=А, у =B.

4. Из уравнений следует, что при возрастании х от 0 до А в первой координатной четверти, У убывает от B до 0.

По полученным свойствам строим эллипс Отрезок А1А2 и его длина 2А называются Большой осью эллипса, а отрезок B1B2 и его длина 2B называются Малой осью эллипса. Отрезок ОА1 с длиной А и отрезок ОВ1 с длиной B называются соответственно Большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F1F2=2С Называется Фокусным расстоянием, начало координат — Центр эллипса.

Если А=B, то получаем каноническое уравнение окружности

Уравнения х = ACost, у = BSint -

Параметрические уравнения эллипса.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число

Так как с<А, то 0<C<1. Заметим, что у окружности оба фокуса

Совпадают, поэтому С = 0 и ε = 0.

.

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса.

Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x, у) эллипса:

r1=А+εх, r2=А—εх

< Предыдущая		Следующая >