11.7. Уравнения кривых второго порядка

Кривые второго порядка, описываются уравнениями второй степени с двумя переменными. К ним относятся:

(1). уравнение окружности: (х – х0)2 + (у – у0)2 = R2, или, в частном случае, когда начало координат совпадает с центром окружности, х2 + у2 =R2;

(2). уравнение эллипса: ;

(3). уравнение гиперболы: .

Подробное описание способов построения и анализа кривых можно найти в рекомендуемой литературе (под ред. Н. Кремера).

Раздел 8. Матричные уравнения.

Появление матричного исчисления исторически явилось необходимым этапом при решении систем уравнений с большим числом переменных. В контрольной работе предлагаются задания начального этапа применения матриц к решению системы уравнений: записи системы, записи соответствующего матричного уравнения и расчета определителя матрицы. Правила нахождения определителя матрицы и основные операции матричного исчисления даются в Приложении.

Рассмотрим пример типовой задачи, которая может встретиться в контрольной работе.

Записать матричное уравнение и вычислить определитель матрицы для системы уравнений:

х1+2х2+ 3х3+4х4 = 4,

2х1+3х2+4х3+х4 = –1,

3х1+4х2+х3+2х4 = 3,

4х1+х2+2х3+3х4 = 5.

Коэффициенты при неизвестных (Х1, х2, х3, х4) являются соответствующими элементами матрицы, поэтому можно записать:

.

Все переменные в заданной системе уравнений образуют вектор – столбец, который в матричной форме можно записать следующим образом:

Результат действия матрицы А на вектор Х также можно изобразить в виде вектора – столбца, определяемого свободными членами в заданном уравнении:

.

Поэтому системе уравнений в задаче соответствует матричное уравнение: AX = Y.

Теперь вычислим определитель Δ матрицы А:

Задача решена.