4.06. Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция дифференцируема в точке и монотонна в некоторой окрестности . Тогда обратная функция :

1) определена и непрерывна в окрестности ,

2) дифференцируема в точке , причем

или кратко .

Доказательство. Из дифференцируемости функции сле-дует ее непрерывность в точке , а это условие и монотонность обеспечивают существование непрерывной обратной функции в окрестности . Поэтому, если , то в силу непрерывности функции имеем , а в силу ее монотонности при следует . Тогда можно записать . Перейдем в этом выражении к пределу при : .

Геометрический смысл производной обратной функции.

Построим график дифференцируемой функции .

Проведем касательную в точке и обозначим углы, образованные касательной с ося-ми и , соответственно и , заметим также, что , тогда,

,

А с другой стороны,

.

Итак, производная обратной функции равна тангенсу угла между касательной к графику в точке и осью ординат.

Таблица производных (продолжение)

11. .

Обратной функцией для функции является . Поэтому

.

12. .

Обратной функцией для функции является . Поэтому

.

13. .

Обратной функцией для функции является . Поэтому

.

14. .

Обратной функцией для функции является . Поэтому

.

15. .

Обратной функцией для функции является . Поэтому

.

В частном случае , имеем

16. .

Дополним таблицу производными от гиперболических функ-ций - гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса

.

Замечание. Для гиперболических функций существует анало-гичное как для тригонометрических функций - основное “гипербо-лическое” тождество .

17. .

.

18. .

.

19. .

.

20. .

< Предыдущая		Следующая >