3.4. Каноническое уравнение параболы

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости для которых расстояние до фокуса равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой.

Для вывода уравнения параболы зафиксируем систему координат ХОу, как показано на рисунке, и обозначим расстояние от фокуса до директрисы через

Согласно определению параболы имеем , или в координатах

.

Возведем обе части уравнения в квадрат, приведем подобные члены, получим каноническое уравнение параболы

, (1)

Где называется Параметром Параболы.

Свойства параболы:

1. Парабола имеет ось симметрии (ось параболы).

Утверждение следует из того, что замена координат на не изменяет вид уравнения (1).

2. Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскос-ти ХОу. Из уравнения (1) следует При .

3. Любые две параболы подобны.

Возьмем две параболы и и произвольную прямую , пересекающую эти параболы в точках и . Тогда

4. Уравнение директрисы параболы: .

5. Кривая при также парабола, но расположена в левой полуплоскости плоскости .

Достаточно в уравнении (1) заменить .

6. Для директрисы параболы имеет место анало-гичное как для эллипса и гиперболы свойство: .

Заметим, что эксцентриситет параболы, в отличие от эллипса и гиперболы, фиксирован .

Пример 1. Найти фокальный радиус точки параболы .

Решение. Фокальный радиус . Параметр параболы:

Пример 2. Из фокуса параболы под острым углом к оси направлен световой луч. Написать уравнение отраженного луча.

Решение. Используем геометрическое свойство параболы - отраженный луч от поверхности параболы всегда параллелен оси , если он исходит из фокуса параболы. Поэтому уравнение прямой отраженного луча должно иметь вид Остается найти ординату точки пересечения исходящего луча с параболой.

Параметр параболы: Координаты фокуса или . Угловой коэффициент исходящего луча . Тогда, уравнение исходящего луча или

.

Выразим из уравнения и подставим это значение в уравнение параболы, получим квадратное уравнение . Корень лишний, т. к. по условию задачи Уравнение прямой отраженного луча

< Предыдущая		Следующая >