logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Краткий курс лекций по аналитической геометрии 2.1. Линейные образы. Плоскость и прямая. Общее уравнение плоскости и его исследование

2.1. Линейные образы. Плоскость и прямая. Общее уравнение плоскости и его исследование

Пусть в пространстве задана произвольная плоскость и фиксирована декартова система координат. Пусть произвольный вектор, перпендикулярный плоскости . Его называют нормальным вектором плоскости . На плоскости выберем две точки - произвольную точку и фиксированную - . Построим вектор (Рис.)

Заметим, что вектор лежит в плоскости , а вектор ортогонален ему, поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю, т. е.

, (1)

Или в координатах

. (2)

Первое уравнение называется Векторным уравнением плоскос-ти, а второе - Уравнением плоскости проходящей через Заданную Точку C нормальным вектором .

Обозначим через , то получим из (2) так называемое Общее уравнение плоскости c нормальным вектором

. (3)

Исследуем частные случаи общего уравнения (3):

1. Если точка лежит в плоскости , то как следует из (3) выполняется тождество . Вычитая это тождество из (3), получим уравнение плоскости (2).

2. . Точка удовлетворяет уравнению (3), следовательно, уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат.

3. . Нормальный вектор имеет координаты , т. е. он перпендикулярен оси Х. Тогда уравнение определяет плоскость, параллельную оси .

Аналогично рассматриваются случаи .

4. . Нормальный вектор имеет координаты , т. е. он перпендикулярен осям и У. Тогда уравнение определяет плоскость, параллельную плоскости .

Аналогично рассматриваются случаи и .

5. . Уравнение соответствует предыдущему случаю с учетом того, что при плоскость проходит через начало координат, следовательно, имеем координатную плоскость .

Оставшиеся случаи и есть уравнения координатных плоскостей и соответственно.

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

Решение. Найдем нормальный вектор искомой плоскости

=

Используя уравнение (2) запишем искомое уравнение плоскости

 
Яндекс.Метрика
Наверх