5.07. Интегрирование по частям

Этот метод основан на использовании формулы

, (2.2)

Которая называется Формулой интегрирования по частям. В этой формуле и - любые две дифференцируемые функции, для которых существуют и и .

Докажем эту формулу. Опираясь на формулу для дифференциала произведения двух функций

(формула (5.11) главы 4), и интегрируя обе части этого равенства, получим:

Применяя теперь свойство (1.7) неопределенных интегралов к интегралу слева, получим:

откуда

В правой части даст, после своего вычисления, некоторую функцию плюс неопределенную константу. Вместе с уже имеющейся там неопределенной константой С Этих констант в правой части окажется две. Поэтому одну из них (а именно, константу С) можно отбросить, так как эти две константы все равно объединятся в одну. В итоге как раз и получим формулу (2.2)

Примечание . При вычислении по формуле интегрирования по частям (2.2) нам придется вычислить два неопределенных интеграла (выполнить работу, состоящую из двух частей). Сначала по имеющемуся дифференциалу функции нужно будет найти саму функцию . Для этого используем формулу (1.8):

если , то (2.3)

Таким образом, получаем: То есть получаем не одну, а множество функций . Но нам нужна лишь одна из них (любая). Проще всего получить ее, отбросив в (2.3) константу С:

== F(X) (2.4)

По этой схеме находится функция . Затем, в соответствии с формулой (2.2), нужно выполнить вторую часть работы - вычислить интеграл .

Формулу (2.2) для вычисления по частям есть смысл применять, если можно вычислить оба интеграла: и , и .

Пример 8. Вычислить .

Решение.

= =.

Пример 9. Вычислить .

Решение.

= =

====

==.

В примере 9 применены и подстановка, и интегрирование по частям.

В заключение этого параграфа укажем следующее. Проблема вычисления неопределенных интегралов – гораздо более сложная, чем проблема вычисления производных. Среди неопределенных интегралов и много неберущихся. Однако доказана теорема (см. §4): если функция непрерывна на некотором промежутке оси Ох (например, на отрезке оси ох), то на этом промежутке существует и, то есть существует множество первообразных F(X)+C для подинтегральной функции F(X). Но только не всегда эти первообразные можно выразить через элементарные функции. В этих случаях (случаях неберущихся интегралов) применяют приближенное интегрирование. Один из путей такого приближенного интегрирования будет указан в §4, другой – в главе 7 «Ряды».

Упражнения

1. Подтвердить правильность вычисления неопределенных интегралов:

А) ; б); в).

2.Вычислить путем непосредственного интегрирования следующие неопределенные интегралы:

А); б); в);

Г); д); е).

Ответы:

А); б) ; в) ;

Г) ; д) ; е) .

3. С помощью подходящей подстановки вычислить следующие неопределенные интегралы:

А); б); в);

Г) ; д); е).

Ответы:

А); б) ; в) ; г) ;

Д) ; е).

4. Вычислить интегрированием по частям следующие неопределенные интегралы:

А) б) в) г)

Ответы:

А) б)

В) г)

5. Указать по справочнику «Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М., «Наука», 1981» номера табличных интегралов, с помощью которых в готовом виде или после незначительных преобразований можно получить все шесть интегралов пункта 3 и все четыре интеграла пункта 4 данных упражнений.

Ответы:

Пункт 3. а) 313; б) 124; в) 381; г) 478; д) после подстановки приводится к виду 57; е) после подстановки приводится к виду 447.

Пункт 4. а) 471; б) 488; в) 330; г) 449.

< Предыдущая		Следующая >