4.25. Свойства эластичности функции

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной X на так называемый Темп изменения функции :

(7.2)

2. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций:

(7.3)

3. Эластичность частного двух функций равна разности эластичностей этих функций:

(7.4)

Отметим, что последние два свойства – прямое следствие формулы (7.2) и свойств логарифма:

;

4. Эластичность взаимно обратных функций – взаимно обратные величины:

(7.5)

Действительно,

Эластичность экономических функций применяется при анализе этих функций. Выясним, например, как влияет эластичность или неэластичность спроса Q относительно цены P единицы продукции на суммарный доход от продаж при условии, что зависимость спроса Q на товар от его цены P имеет некоторое уравнение . Это уравнение так называемой кривой спроса, которая, очевидно, является убывающей кривой (с увеличением цены P еди­ницы товара спрос Q на этот товар, естественно, уменьшается) – см. рис. 4.6.

Подсчитаем предельный (маржинальный) доход от продаж:

(7.6)

Где

(7.7)

– эластичность спроса Q относительно цены P. Так как и P, и Q неотрицательны, а , как производная убывающей функции, отрицательна, то .

Если спрос эластичен, то есть если (а значит, ), то, согласно (7.6), . А это значит, что зависимость дохода R от цены P является убывающей. То есть с увеличением цены P единицы продукции суммарный доход R от продаж будет уменьшаться. А с уменьшением цены – наоборот увеличиваться. Но уменьшение цены P автоматически ведет к увеличению спроса Q. Таким образом, при эластичном спросе с увеличением спроса Q увеличивается и доход R. То есть При эластичном спросе каждая дополнительно проданная единица продукции приносит дополнительный доход.

Если спрос неэластичен, то есть если (а значит, ), то, согласно (7.6), . То есть зависимость R от P будет возрастающей. Иначе говоря, с увеличением цены P единицы продукции суммарный доход от продаж R будет увеличиваться. А с уменьшением цены – уменьшаться. Но уменьшение цены автоматически ведет к увеличению спроса, то есть к увеличению объема продаж. И при этом, тем на менее, доход R будет уменьшаться! То есть При неэластичном спросе каждая дополнительно произведенная и проданная единица продукции будет приносить не доход, а убыток.

Наконец, если (), то есть если спрос имеет единичную эластичность, то . А это значит, что изменением цены P (а значит, и с изменением объема продаж Q) суммарный доход от продаж R не изменится.

Если изобразить зависимости , и графически, то результаты проведенного исследования предстанут в виде:

Здесь P0 и Q0 – оптимальная цена и оптимальный спрос (объем продаж), обеспечивающие максимум дохода R. Им соответствует единичная эластичность спроса. То есть оптимальная цена P0 единицы товара может быть найдена из уравнения:

(7.8)

А оптимальный спрос Q0 может быть найден из уравнения кривой спроса: .

Впрочем, если известны явные выражения и , то значения P0 и Q0 проще найти из равенств:

; (7.9)

Согласно рис. 4.23 (б), дохода не будет вообще (), когда товар ничего не стоит (), или когда цена P достигнет критического значения, при котором товар перестанут покупать вообще (этой цене соответствует спрос – см. рис. 4.23 (а). А согласно рис. 4.23 (в) доход от продаж товара будет нулевым, если объем продаж Q будет нулевым (этому соответствует критическая цена товара ), или если объем продаж Q достигнет некоторого значения , которому, очевидно, соответствует нулевая цена единицы товара. То есть – это тот максимальный объем товара, который покупатели возьмут, если он отдается даром. Имея явные зависимости и , можно найти и , и . Впрочем, естественнее они находятся из уравнения кривой спроса.

Пример 2. Пусть уравнение кривой спроса – линейная убывающая функция , где и . При этом и функция – линейная и убывающая. Суммарный доход от продаж можно выразить двояко:

А) ; б) (7.10)

Графики обеих этих функций – параболы, направленные ветвями вниз, то есть они представляют собой кривые типа тех, что изображены на рисунках 4.23 (б) и 4.23 (в).

Оптимальную цену P0 и оптимальный спрос Q0 легко найти по схемам (7.9):

А) (7.11)

б)

При этом

(7.12)

Критические значения и цены и спроса найдем, приравняв доход R к нулю:

А) (7.13)

б)

Эластичность спроса Q относительно цены P тоже можно выразить двояко – и через P, и через Q:

А) ; (7.14)

б) .

На основании формул (7.14) легко убедиться в том, что при оптимальной цене (или, что одно и то же, при оптимальном спросе ) эластичность спроса , то есть спрос имеет единичную эластичность. При () эластичность , то есть спрос будет эластичным. При () имеем , то есть спрос будет неэластичным.

Все установленное выше можно наглядно проиллюстрировать и на кривой спроса (рис. 4.24).

Отметим, что значение Q0 объема продаж, обеспечивающее максимум дохода от продаж R, еще не обеспечивает максимума прибыли П от продаж данного товара. Действительно, , где С – издержки производства (себестоимость товара):

(7.15)

Прибыль будет максимальной при том Q, при котором :

(7.16)

Таким образом, прибыль от производства будет максимальной при том объеме продаж Q, при котором предельный доход равен предельным издержкам . А это – известный экономический закон.

Наконец, рассмотрим прибыль П предприятия, если кроме издержек производства с каждой единицы произведенной продукции берется налог T. Тогда при объеме Q произведенной продукции суммарный налог Т составит рублей, а общая прибыль предприятия П выразится формулой:

(7.17)

Максимум прибыли при заданном налоге T предприятие будет иметь при том объеме продаж Q, который соответствует уравнению:

(7.18)

При этом суммарный налог Т с проданной продукции составит

(7.19)

Можно поставить вопрос: при каком T, то есть при какой ставке налога, суммарный налог Т будет максимальным? (в этом заинтересованы налоговые органы). Это будет то значение T, при котором :

Подставляя найденное значение в выражение (7.18) для , получим: . Это тот объем производства, при котором при максимуме суммарной прибыли П предприятия будет максимальным и суммарный налог Т на продукцию этого предприятия.

Пример 3. Пусть

;

Тогда

;

.

Таким образом, максимальная прибыль составит:

А максимальный налог Т составит:

Интересно сопоставить эти цифры с цифрами при отсутствии налогообложения, то есть при . В этом случае (убедитесь в этом самостоятельно) ; . Следовательно, уменьшение налогообложения стимулирует выпуск дополнительной продукции и приводит при этом к резкому увеличению прибыли от ее реализации. Отсюда ясно, почему производители прикладывают столько усилий, чтобы снизить ставку налога T.

В экономической теории находят применение не только производные первого порядка, но и производные второго порядка.

Один из знаменитых экономических законов – Закон убывающей доходности – звучит так: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу производственного ресурса (например, численности рабочих, капитальных затрат на производство и т. д.) с некоторого значения этого ресурса убывает.

Сформулируем этот закон на языке математики. Пусть – зависимость объема Y выпускаемой продукции от используемого на ее производство ресурса X. И пусть – дополнительная продукция, полученная при использовании дополнительного к X ресурса . Тогда:

(7.20)

– продукция, полученная на единицу дополнительного (к X) ресурса. Согласно закона убывающей доходности, эта продукция с некоторого убывает. А это значит, что с некоторого производная функции (7.20) отрицательна:

(при ) (7.21)

Вспоминая геометрический смысл второй производной, приходим к выводу, что при график функции является выпуклым (а до того, при , он был вогнутым) – рис. 4.25. Данное обстоятельство является отправной точкой для дальнейшего исследования указанной зависимости Y от X. В частности, для подбора аналитического вида этой зависимости.

Упражнения

1. Опытным путем установлено, что объем Q продукции, производимой на предприятии в течение рабочей смены, определяется формулой:

(ед.)

Здесь – рабочее время в часах. Исследовать зависимость производительности труда на этом предприятии от времени и построить график этой зависимости.

Ответ:

(ед./час)

2. Опытным путем установлены уравнения кривых спроса и предложения:

; .

Здесь Q и S – это соответственно количества продаваемого и предлагаемого к продаже товара при цене единицы товара P.

А) Построить кривые спроса и предложения.

Б) Найти равновесную цену P0 единицы товара, при которой спрос равен предложению.

В) Найти эластичность спроса и эластичность предложения относительно цены P при этой равновесной цене и прокомментировать их экономический смысл.

Ответ:

Б) ; при этом (ед.)

В) ; .

При равновесной цене получаем:

;

Это значит, что при увеличении цены P единицы товара на 1 % от равновесной цены (с 30 до 30,3) спрос на товар Q уменьшится на 0,3 %, а предложение от производителей товара S увеличится на 0,8 %. То есть появится товарный излишек в объеме 1,1 %.

Обратно, если цена P уменьшится на 1 %, то спрос Q увеличится на 0,3 %, а предложение уменьшится на 0,8 %. То есть возникнет товарный дефицит в объеме 1,1 %.

< Предыдущая		Следующая >