4.19. Правило Лопиталя вычисления пределов

Это правило состоит в следующем. Если требуется найти предел вида

, (4.1)

Где X0 – число или символ , и этот предел приводит к неопределенности вида или , то

, (4.2)

Словесная формулировка правила Лопиталя (4.2) такова: предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует.

Доказательство. Исчерпывающее доказательство правила Лопиталя довольно громоздко. В связи с этим ограничимся рассмотрением случая, когда предел (4.1) приводит к неопределенности вида :

; ; . (4.3)

При этом будем считать, что X0 – некоторое конечное число.

Если функции и непрерывны в точке X0, то в силу равенства (2.3) главы 3 и . Если же эти функции в точке X0 разрывны, то их значения при X0 не равны нулю (у них другие значения или они там вообще не определены). Тогда переопределим (или доопределим) их в точке X0 так, чтобы стало и . После этого, в силу того же равенства (2.3) главы 3, функции и станут непрерывными в точке X0. Далее, будем считать, что обе эти функции будут непрерывно дифференцируемыми в окрестности точки Х0, включая саму точку х0, причем . Тогда получим:

Примечание. Предел отношения производных, стоящий в правой части равенства (4.2), тоже может приводить к неопределенности вида или . Тогда правило Лопиталя можно применить и к нему. То есть применить это правило повторно.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Последние два пример показывают, что при растет несравненно медленнее, чем X, а – несравненно быстрее, чем при любом значении N.

Пример 6.

Пример 7. .

Для вычисления этого предела введем обозначение: . Тогда . Учитывая, что , находим:

Итак, . То есть при и , а значит, , ибо . Таким образом, , а значит, .

Упражнения

1. В примере 1 было показано, что уравнение имеет три корня: ; ; . Методом половинного деления найти корни X1 и X3 с точностью до 0,01 и сравнить эти значения с точными.