4.03. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Теорема. Если функция дифференцируема в точке X, то она и непрерывна в этой точке. Обратное не гарантировано.

Доказательство. Пусть функция Дифференцируема в точке X. Это значит, что ее производная существует и конечна в точке X. То есть

Существует и конечен. По определению предела это значит, что

при .

То есть при малых имеем , откуда , причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньше . Устремляя в нем , получаем, что и . А это, в силу (2.5) главы 3, и означает непрерывность функции в точке X. Первая часть теоремы доказана.

Обратно, если функция непрерывна в некоторой точке X, то это еще не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция , график которой изображен на рис. 4.7, непрерывна в любой точке X, ибо её график сплошной (без разрывов). И тем не менее в точках X1, X2 и X3, как было показано выше, она не дифференцируема.

Упражнения

1. Опираясь на геометрический смысл производной показать, что

А) производная функции для любого X равна 2;

Б) производная функции для любого X равна 0;

В) производная функции для положительна, а для отрицательна.

2. Уравнение движения точки по ее траектории (рис. 4.3) имеет вид: . Показать, что точка тормозит при своем движении.

3. Функция – уравнение кривой спроса (рис. 4.6). Показать, что для любых допустимых Q производная этой функции отрицательна.

< Предыдущая		Следующая >