1.2. Полярные координаты на плоскости

Декартовы координаты не всегда оказываются удобными. Например, для математического описания плоских фигур с круговыми границами, а также в некоторых других случаях более удобными оказываются полярные координаты.

Полярная система координат содержит лишь одну числовую ось P (Полярную ось), начало которой О называется ее Полюсом (рис. 1.4).

Полярными координатами произвольной точки М плоскости являются ее Полярный угол (угол между полярной осью P и направлением из полюса на эту точку), и Полярное расстояние r (расстояние от полюса O до этой точки). Полярный угол принято считать (если нет специальной оговорки) в пределах (-P; P] и выражать в радианах. Тот факт, что и R – полярные координаты точки М плоскости, обозначается так: М = М(; R).

Очевидно (см. рис. 1.4), что каждая точка М плоскости, отличная от полюса О, имеет однозначную пару полярных координат (; R). Исключение составляет лишь полюс О. У этой точки полярное расстояние R = 0, а полярный угол не определен. Обратно, по известным полярным координатам (; R) точки плоскости можно, очевидно, однозначно построить и саму точку.

Если наряду с полярными координатами (; R) точки плоскости ввести также ее декартовы координаты, как это показано на рис. 1.5, то связь между ними выразится очевидными формулами:

(2.1)

По этим формулам осуществляется переход от полярных координат точек плоскости к декартовым. Обратный переход, от декартовых координат к полярным, осуществляется по формулам,

(2.2)

Также очевидным образом вытекающим из рис. 1.5 (или из формул (2.1)). Согласно этим формулам, полярное расстояние R точки, имеющей декартовы координаты (X; Y), находится однозначно. А полярный угол находится по предварительно вычисляемому Tg. Но по Tg угол находится, как известно, неоднозначно:

(N = 0, ±1, ±2, …) (2.3)

Из множества углов , предлагаемых формулой (2.3), нужно выбрать один – тот, который соответствует четверти плоскости, в которой находится рассматриваемая точка. Это делается с помощью подбора подходящего значения целого числа N и учете того, что .

Пример 1. Найти полярные координаты изображенных на рис. 1.6 точек М1, М2, М3, М4, М5.

Решение. Полярные координаты (; R) точек М1, М2, М3, М4 могут быть найдены и без применения формул (2.2) и (2.3), они очевидны из рис. 1.6:

М1 (0; 3); М2 (; 2);

М3 (; 3); М4 (; 2).

А вот полярные координаты (; R) точки М5 найдем, используя эти формулы:

(N = 0, ±1, ±2, …)

Так как точка М5 находится в третьей четверти, в которой (то есть в градусах ), то чтобы получить такой угол для точки М5, нужно в последней формуле положить N = - 1. В итоге получим: . Переведя градусы в радианы (вручную, используя тот факт, что = Рад 3,1416 рад., или, что проще, пользуясь специальной таблицей перевода градусной меры в радианную), получим: -2,5534 (рад). Итак,