2.11 Смешанное произведение

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора [´] на вектор , т. е. [´] × .

Свойства смешанного произведения

1.Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

А) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;

Б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

В) все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны).

2. Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного умножения, т. е.

[´] ×· = × [´].

В силу этого свойства смешанное произведение векторов , и принято записывать так: . Можно показать, что Смешанное произведение трех векторов , , По модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом состоит геометрический смысл смешанного произведения и определителя третьего порядка (рисунок 16).

Рисунок 16

Объем V1 треугольной пирамиды, построенной на векторах , , , вычисляется по формуле V1 = .

Из свойств смешанного произведения вытекает следующее: необходимым и достаточным Условием компланарности трех векторов служит условие равенства нулю их смешанного произведения = 0 (объем параллелепипеда равен нулю).

Пусть векторы заданы своими координатами ={A1, A2, A3}, = {B1, B2, B3}, = {C1, C2, C3}.

Тогда их Смешанное произведение можно Вычислить по формуле

(2.29)

Таким образом, если три вектора лежат в одной плоскости, то

(2.30)

Итак, в случае компланарности векторов один из векторов линейно выражается через другие, то есть векторы , , линейно зависимы.

Отсюда следует свойство определителя: если строки (столбцы) определителя линейно зависимы, то определитель равен нулю.

Замечание

Если векторы , , образуют правую тройку, то их смешанное произведение положительно: > 0 означает, что эти векторы образуют правую тройку.

Если же < 0, то векторы образуют левую тройку (и обратно).

< Предыдущая		Следующая >