2.10 Векторное произведение

В предыдущих разделах мы рассматривали скалярное произведение двух векторов. Однако существуют и другие способы определения произведения векторов. В частности, можно ввести понятия векторного и смешанного произведения двух векторов. Рассмотрим эти понятия.

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) || = || × || × sin j, где j – угол между векторами и ;

2) ^ и ^, т. е. вектор перпендикулярен плоскости "натянутой" на векторы и ;

3) векторы , и (после приведения к общему началу) ориентированы по отношению друг к другу, соответственно, как орты , и , т. е. образуют так называемую "правую" тройку векторов.

Векторное произведение на обозначается так: ´ или [ ´ ].

Свойства векторного произведения

1. , т. е. векторное произведение не обладает переместительным свойством, то есть при перестановке сомножителей векторное произведение меняет направление;

2. ´ = , если = или = , либо || .

3. ´(+) = ´ + ´ (распределительное свойство).

4. l´ = ´l = l[´] (сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю).

5. (a + b) ´ = a[´] + b[´] (линейность по первой компоненте).

Аналогично, справедлива линейность и по второй компоненте.

Модуль векторного произведения = ´ численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и (рисунок 15).

Рисунок 15

В Координатной форме векторное произведение векторов = {X1, Y1, Z1} и = {X2, Y2, Z2} вычисляется следующим образом:

. (2.27)

Правая часть этой формулы получена разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки, в которой стоят орты прямоугольной трехмерной системы координат.

Из формулы следует, что координатами векторного произведения служат определители:

. (2.28)

Заметим, что определитель, применяемый в формуле (2.27) для вычисления векторного произведения, отличается от рассмотренных ранее, так как в первой его строке находятся не числа, а орты , , . Но такой способ записи удобен, и мы будем пользоваться им, причем разложение следует делать по первой строке.

Пример. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах {4, 1, 3} и

= {2, 1, 0}.

Решение

Площадь искомого параллелограмма равна модулю вектора = ´ . Найдем координаты этого вектора:

.

Координаты вектора = ´ = {–3, 6, 2}.

Теперь вычислим модуль этого вектора

Ответ: площадь искомого параллелограмм равна S = 7 кв. ед.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!