2.2. Прямая и плоскость в пространстве

Пусть в пространстве заданы прямая L

И плоскость π: Ax+By+Cz+D=0.

Взаимное расположение прямой L и плоскости π сводится к трем случаям:

А) прямая L параллельна плоскости π (не пересекает её);

Б) прямая L пересекает плоскость под углом φ;

В) прямая L лежит на плоскости π.

Опишем эти случаи подробнее.

Острый Угол φ между прямой L и плоскостью π Определяется по формуле

. (17)

Условие параллельности прямой и плоскости π Эквивалентно условию ортогональности направляющего вектора и вектора нормали , т. е.

(,)=0 . (18)

Условие перпендикулярности прямой L и плоскости π сводится к условию коллинеарности векторов =(l, m,n) и

. (19)

Частным случаем параллельности прямой и плоскости является случай (С) – прямая L принадлежит плоскости π. В этом случае, кроме условия (18) должно выполняться условие принадлежности любой точки прямой плоскости π. В частности, точка М0, принадлежащая L, лежит на плоскости π и удовлетворяет её уравнению

Ax0+By0+Cz0+D=0. (20)

Итак, условия (18) и (20) задают Условия принадлежности прямой плоскости .

Решим теперь задачу отыскания координат точки пересечения прямой и плоскости. Рассмотрим эту задачу на конкретном примере.

Найти точку пересечения прямой

И плоскости 3x + 5y – z – 2 = 0.

1. Запишем параметрические уравнения прямой:

X = 4t + 12; y = 3t + 9; z = t + 1,

Здесь t = .

Мы знаем, что каждой точке М прямой, соответствует своё значение параметра t.

2. Найдём значение параметра t для общей точки прямой и плоскости. Потребуем, чтобы точка М(x(t), y(t), z(t)) удовлетворяла уравнению плоскости:

3(4t + 12) + 5(3t + 9) – (t +1) – 2 = 0;

26t = – 78, t = – 3.

3. Найденное значение параметра t подставим в выражения для координат точки. Получим координаты точки пересечения прямой и плоскости

X = 0, y = 0, z = – 2.

< Предыдущая		Следующая >