Приложение 1 - Примеры решения задач и комментарии

Пример 1

Даны координаты вершин треугольника А(0, –2), В(1, 1), С(3, 0). Написать общее уравнение медианы треугольника, опущенной из вершины В.

Решение. Найдем координаты точки М, середины основания АС.

; .

Напишем теперь уравнение прямой ВМ, проходящей через две точки В и М:

; ; .

После элементарных преобразований имеем:

или –Y – 1 = 4X – 6, отсюда 4X + Y – 5 = 0.

Получили искомое уравнение медианы.

Пример 2

Даны три точки А(3, 1), В(1, –2), С(3, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ.

Решение. Запишем уравнение прямой АВ, проходящей через две точки А и В.

, или –2(Y – 1) = –3(X – 3), отсюда 2Y – 2 = 3X – 9.

Разрешая это уравнение относительно переменной У, найдем уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом:

Угловой коэффициент этой прямой равен .

Из условия перпендикулярности двух прямых получим угловой коэффициент К1 прямой, перпендикулярной прямой АВ:

Запишем теперь уравнение прямой с данным угловым коэффициентом К1 и проходящей через точку С. Воспользуемся формулой YYc = K1(XXc). Отсюда . После элементарных преобразований получаем требуемое уравнение

Пример 3. Заданы две прямые и .

А. Найти угол между ними.

Б. Провести нормаль к прямой L1 в точке . Образуется треугольник, написать уравнение третьей стороны и указать вершины треугольника.

Решение. а. Угол между прямыми L1 и L2 определяется по формуле ; .

Б. Уравнение нормали к прямой L1, проходящей через точку A, имеет вид , где . Откуда , и уравнение нормали или .

Точка A принадлежит прямым L1 и L3. Надо найти точку пересечения прямых L1 и L2, . Откуда . Обозначим эту точку . А также надо найти точку пересечения прямых L2 и L3. . Имеем . Обозначим эту точку . Таким образом, имеем три вершины треугольника ABC.

Пример 4. Заданы координаты вершин параллелограмма:

.

Написать уравнения всех сторон параллелограмма, определить углы параллелограмма и его площадь.

Решение. Для написания уравнений сторон параллелограмма используем формулу

.

Уравнение стороны AD имеет вид , или .

Уравнение стороны BC имеет вид или .

Уравнение стороны AB имеет вид , или .

Уравнение стороны CD имеет вид , или .

Угол между прямыми L1 и L2 определим по формуле . . Угол между прямыми L3 и L2 . .

Сторона параллелограмма равна . Расстояние от точки B до прямой L1 вычисляется по формуле . . Площадь параллелограмма равна .

Пример 5

Дано уравнение второго порядка

9X2 – 4Y2 – 36X – 8Y – 4 = 0.

Написать каноническое уравнение кривой и определить ее тип. Найти полуоси, координаты центра симметрии и фокусы кривой.

Решение. Задача сводится к тому, чтобы привести данное уравнение к одному из следующих видов:

или

Первое из этих уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу с центром симметрии в точке О(Х0,У0), полуосями A, B (для гиперболы: A – вещественная полуось). Фокусы таких кривых имеют координаты: F1(X0 + C, Y0) и F2(X0 – C, Y0), где C2 = A2 – B2 (для эллипса, если A – большая полуось) и C2 = A2 + B2 (для гиперболы).

Для решения поставленной задачи выделим полные квадраты в следующих выражениях:

9X2 – 36X = 9(X2 - 4X + 4) – 36 = 9(X – 2)2 – 36;

–4Y2 – 8Y = –4(Y2 + 2Y + 1) + 4 = –4(Y + 1)2 + 4.

Подставим теперь полученные выражения в данное уравнение:

9(X – 2)2 – 36 – 4(Y + 1)2 + 4 – 4 = 0 или 9(X – 2)2 – 4(Y + 1)2 = 36.

Поделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение гиперболы

Отсюда видно, что центр симметрии гиперболы находится в точке О(2, –1), прямые Х – 2 = 0,
У + 1 = 0 являются ее осями симметрии. Вещественная полуось гиперболы А = 2, мнимая полуось
B = 3,

Получим координаты фокусов .

Пример 6

Дано уравнение кривой в декартовых координатах (X2 + Y2)2 = 4Xy2. Написать это уравнение в полярных координатах.

Решение. Воспользуемся формулами ((1.1), гл. 1) X = R × cos j, Y = R × sin j и подставим эти выражения в данное уравнение.

(R2cos2j + R2sin2j)2 = 4R cos j × R2(sin j)2.

Используя формулы тригонометрии cos2j +sin2j = 1, 2sin j × cos j = sin 2j, получим

R4 = 2R3sin 2j sin j.

Поделим обе части на r3 и получим искомое уравнение

R = 2sin 2j × sin j.

Яндекс.Метрика