2.2 Окружность

Самой простой кривой второго порядка является Окружность, которую можно определить как геометрическое место точек, удаленных от точки С(а, B) на равное расстояние R.

Точка С называется центром окружности, а R – радиусом данной окружности. Уравнение окружности с центром в точке С(А,B) и с радиусом R всегда можно привести к простому виду

(XA)2 + (YB)2 = R2. (2.2)

Пример 2.1. Привести к виду (2.2) (если это возможно) уравнение второго порядка

X2 + Y2 – 2Х + 4У – 4 = 0.

Сгруппируем члены, содержащие Х, и отдельно члены, содержащие У, и выделим в них полные квадраты. Двучлен X2 – 2X представим в виде

Х2 – 2X = (X – 1)2 –1,

А двучлен Y2 + 4Y – в виде

Y2 + 4Y = (Y + 2)2 – 4.

После этого преобразования данное уравнение запишется так:

(Х –1)2 – 1 + (У + 2)2 – 4 – 4 = 0

Или после упрощений

(Х – 1)2 + (Y + 2)2 = 32.

Мы получили уравнение окружности с центром в точке C(1,-2) и радиусом, равным 3.

Замечание 1. Способом выделения полного квадрата уравнение (2.1) приводим к виду (2.2) (его можно привести к виду (2.2), если коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а член с произведением координат отсутствует).

Замечание 2. Если начало координат совпадает с центром окружности, то ее уравнение имеет вид:

x2 + Y2 = R2. (2.3)

Такое уравнение называется Каноническим уравнением окружности.

В частном случае, если R = 0, мы имеем уравнение X2 + Y2 = 0, определяющее одну точку – начало координат, если же уравнение приведется к виду X2 + Y2 = –R2, то оно определяет пустое множество.

Яндекс.Метрика