1.3.2 Общее уравнение прямой

Общее уравнение первой степени относительно Х и У имеет вид

Ax + By + C = 0. (1.9)

Здесь А, В – произвольные числа, не равные нулю одновременно. Разрешим уравнение (1.9) относительно у (считая, что ).

Получим ,

Или, введя обозначения

.

Выше мы показали, что это уравнение является уравнением прямой линии с угловым коэффициентом K и отсекающей на оси ОY отрезок, равный B.

Рассмотрим частные случаи.

1. Если теперь B = 0, то уравнение (1.9) примет вид

Ax + C = 0.

Разрешая это уравнение относительно Х, получим , или, обозначая , имеем
X = A.

Получили уравнение прямой, параллельной оси ОY.

2. При A = 0 уравнение (1.9) примет вид By + C = 0, или .

Обозначая , получаем Y = B.

Получили уравнение прямой, параллельной оси ОХ.

3. При C = 0 уравнение (1.9) имеет вид

Ax + By = 0, или Y = Kx, где ,

Которое определяет прямую, проходящую через начало координат, так как ему удовлетворяют координаты начала X = 0, y = 0.

Таким образом, мы показали, что всякое уравнение первой степени относительно Х и У Ax + By + C = 0, где A2 + B2 > 0 определяет прямую линию. Уравнение (1.9) называется Общим уравнением прямой.

Пример 1.4. Написать уравнение с угловым коэффициентом для прямой, заданной общим уравнением 2Х + 3У + 7 = 0.

Разрешим уравнение относительно У:

.

Видно, что угловой коэффициент , а величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ОY, .

4. При C = 0, B = 0 уравнение (1.9) имеет вид

Ax = 0 или X = 0.

Прямая совпадает с осью ОY.

5. При C = 0, A = 0 уравнение (1.9) примет вид

By = 0 или Y = 0.

Прямая совпадает с осью ОХ.

Яндекс.Метрика