07.3. Задачи

Задача 1. Цех металлообработки получил срочный заказ на выпуск партии деталей. Для производства детали необходимо выполнить операции на четырех станках. В цехе работают четыре слесаря высокой квалификации, каждый из которых может рабо­тать на любом станке, но с различным процентом брака (процент брака известен из документации ОТК):

Распределите станки между рабочими таким образом, чтобы процент брака был минимальным. (Предполагается, что ОТК про­веряет готовую деталь, т. е. общий процент брака определяется как сумма процентов брака, допущенного всеми рабочими.)

Вопросы:

1. На каком станке должен работать рабочий 2?

2. Чему равен минимальный общий процент брака?

Задача 2. Воронежская фирма по производству мужских голов­ных уборов планирует освоение новых рынков сбыта в пяти го­родах. Возможности сбыта невелики, так что в каждый город до­статочно направить одного торгового представителя фирмы для заключения с магазинами договоров о поставках.

В следующей таблице указан объем спроса (в млн руб.):

Фирма располагает данными о профессиональных возможно­стях шести своих сотрудников. В следующей таблице содержатся оценки степени освоения рынка, которую может обеспечить со­ответствующий торговый представитель фирмы:

Так, представитель П1 может освоить 70% от объема спроса в любом городе. Например, если направить его в Москву, то доход фирмы на этом рынке составит 6,3 млн руб.

Распределите торговых агентов по городам таким образом, что­бы фирма получила максимальный доход.

Вопросы:

1. Чему равен максимальный доход фирмы?

2. В какой город следует направить торгового представи­теля П1?

3. Кто из торговых представителей не будет использован?

Задача 3. Фирма получила заказы на разработку пяти про­граммных продуктов. На фирме работают шесть квалифицирован­ных программистов, которым можно поручить выполнение этих заказов. Каждый из них дал оценку времени (в днях), требуемого для разработки программ. Эти оценки приведены в следующей таблице:

Выполнение каждого из пяти заказов фирма решила поручить одному программисту. Ясно, что один из программистов не по­лучит заказа.

Каждому программисту, которому будет поручено выполнять заказ, фирма предложила оплату 1 тыс. руб. в день. Распределите работу между программистами, чтобы общие издержки на разра­ботку программ были минимальными.

Вопросы:

1. Чему равны минимальные издержки фирмы на выполнение всех пяти заказов?

2. Какую программу следует поручить Малкину?

3. Какую программу следует поручить Залкинду?

4. Кто из программистов не получит заказа?

5. Стало известным, что не все программисты согласились с условиями оплаты, обосновывая это тем, что имеют разную квалификацию. В результате была достигнута договорен­ность о следующих размерах оплаты в день (в тыс. руб.):

Изменится ли распределение работ между программистами при новых условиях оплаты труда? Каковы будут в этом слу­чае общие минимальные издержки? б. Кто из программистов при новых условиях не получит заказа?

Задача 4. Пять учебных групп экономического факультета МГУ собираются посетить во время практики 10 предприятии и НИИ. Каждая учебная группа может посетить две организации. Путем опроса студентов выявлены предпочтения каждой группы для 10 ор­ганизаций (1 означает «наиболее предпочтительна», а 10 — «наи­менее предпочтительна»). Предпочтения каждой из пяти учебных групп показаны в таблице (П-1 ¸ П-5 — промышленные предприя­тия; НИИ-1 ¸ НИИ-5 — научно-исследовательские институты):

Определите, какие две организации должна посетить каждая группа, чтобы в максимальной степени были учтены предпочте­ния всех студентов.

Вопросы:

1. Чему равна сумма баллов, соответствующая наилучшему рас­пределению групп по организациям?

2. Какая группа должна посетить НИИ-2?

3. Какую еще организацию должна посетить эта группа?

4. Деканат внес предложение, чтобы каждая группа посетила одно предприятие и один НИИ. Укажите теперь такой ва­риант распределения, чтобы каждой группе досталось по одному промышленному предприятию и одному НИИ. Че­му равна сумма оценочных баллов в этом случае?

5. Какая группа должна посетить НИИ-5 при новых условиях?

6. Какую еще организацию должна посетить эта группа?

Задача 5. Самолеты компании «Аэрофлот» летают между Моск­вой и Сочи. Полеты беспосадочные. График движения показан в следующей таблице:

Рейсы могут обслуживаться московскими или сочинскими эки­пажами. Любой экипаж выполняет пару рейсов — «туда и обрат­но». Время, необходимое для подготовки самолета к очередному рейсу, — один час. Требуется определить, какую пару рейсов сле­дует выполнять каждому экипажу и из какого отряда, московско­го или сочинского, должен быть соответствующий экипаж. Рас­пределение рейсов необходимо осуществить таким образом, что­бы суммарное время ожидания вылета в «чужом» городе было минимальным. Время ожидания не включает тот час, который уходит на подготовку самолета к очередному рейсу.

Вопросы:

1. Верно ли, что рейс 210 должен выполняться московским экипажем?

2. Верно ли, что рейсы 240 и 160 должны выполняться одним экипажем?

3. Верно ли, что рейс 160 должен обслуживаться сочинским экипажем?

4. Каково минимальное общее время пребывания экипажей в «чужих» городах?

5. Какое количество рейсов должны выполнять московские экипажи?

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—1, 2 — 2, 3—5, 4 — 3, 5 —3.

Задача 1. Решение.

Таблица задачи о назначениях представлена в условии. Проводя оптимизационные расчеты, получаем следующую матрицу назначений:

Решение можно представить в следующем виде:

Ответы: 1. На станке 4. 2. 7,9%.

Задача 2. Решение.

Способ 1 (без проведения оптимизационных расчетов). Известно, что при любых неотрицательных А1, B1, а2, B2 соотношение А1B1 + А2B2 ³ а2B1 + А1B2 вы­полняется в случае, когда A1 ³ а2, и B1 ³ B2. Используя это утверждение, можно по­казать, что максимальный доход будет в том случае, когда торговый представи­тель, обеспечивающий максимальную долю освоения рынка, будет направлен в город с максимальным объемом спроса, и т. д.

Способ 2. В таблице задачи о назначениях указан размер дохода (в млн руб.), который можно получить при направлении представителя фирмы в соответству­ющий город:

Проводя оптимизационные расчеты, получаем следующий результат:

Ответы: 1. 17,9 млн руб. 2. В Ростов. 3. Представитель П5.

Задача 3. Решение.

В таблице задачи о назначениях указан размер оплаты (в тыс. руб.) в случае, если программисту будет поручена соответствующая программа:

Проводя расчеты, получаем следующую матрицу назначений:

Учитывая исходную информацию, получаем следующий результат:

Из последней таблицы следует, что минимальные издержки составляют 228 тыс. руб., Малкину следует поручить программу 5, а Залкинду — программу 1. Заказа не получит Галкин.

При Новых условиях оплаты труда таблица задачи о назначениях имеет сле­дующий вид:

Проводя расчеты, получаем следующую матрицу назначений:

В следующей таблице приведен итоговый результат:

Ответы: 1. 228 тыс. руб. 2. Программу 5. 3. Программу 1. 4. Программист Галкин. 5. 351 тыс. руб.

6. Программист Палкин.

Задача 4. Решение.

В таблице задачи о назначениях указаны предпочтения каждой группы, при этом каждая группа представлена дважды, так как может посетить две организации:

Проводя оптимизационные расчеты, получаем следующий результат:

Если учесть предложение деканата, то надо решить две задачи о назначени­ях: сначала распределить группы по предприятиям, затем — по НИИ. Эти две за­дачи можно представить в виде одной оптимизационной задачи, имеющей сле­дующую таблицу (М— большое число):

Минимизируя общую сумму баллов, получаем следующую матрицу назначений:

Ответ можно представить в виде следующей таблицы:

Ответы: 1. 41. 2. Группа 3. 3. Предприятие П-5. 4. 42. 5. Группа 5. 6. Предприятие П-1.

Задача 5. Решение.

Составляем таблицу задачи о назначениях, предполагая, что все рейсы выпол­няются московскими экипажами. Наименование столбца таблицы — номер рей­са «Москва — Сочи» (М — С). Наименование строки — номер обратного рейса «Сочи — Москва» (С — М). В таблице для каждой возможной пары рейсов, вы­полняемых одним экипажем, указано время ожидания вылета в Сочи (в часах):

Московский экипаж

Составляем таблицу задачи о назначениях, предполагая, что все рейсы выпол­няются сочинскими экипажами. Наименование строки — номер рейса «Сочи — Москва». Наименование столбца — номер обратного рейса «Москва — Сочи». В таблице для каждой возможной пары рейсов, выполняемых одним экипажем, указано время ожидания вылета в Москве (в часах):

Сочинский экипаж

Составляем итоговую таблицу задачи о назначениях. Учитываем, что каждая пара рейсов может выполняться либо московским, либо сочинским экипажем. Поэтому в итоговую таблицу включаем минимальные значения времени ожида­ния (в часах) из двух приведенных выше таблиц:

Элементы, выделенные полужирным шрифтом, взяты из таблицы для москов­ского экипажа. Соответствующие пары рейсов должны выполняться московским экипажем. Элементы, выделенные курсивом, взяты из таблицы для сочинского экипажа. Соответствующие пары рейсов должны выполняться сочинским экипа­жем. Элементы, выделенные полужирным курсивом, показывают, что соответ­ствующая пара рейсов может выполняться экипажем, приписанным к любому из двух городов.

Решая задачу, получаем следующую матрицу назначений:

В матрице назначений единица, выделенная полужирным шрифтом, означа­ет, что соответствующая пара рейсов должна выполняться московским экипажем. Единица, выделенная курсивом, означает, что соответствующая пара рейсов долж­на выполняться сочинским экипажем.

В итоге получаем следующее решение задачи:

Ответы: 1. Нет, рейс 210 должен выполняться сочинским экипажем. 2. Да. 3. Да. 4. 9 часов. 5. Восемь рейсов.

< Предыдущая		Следующая >