04. Приемы нахождения неопределенных интегралов. Подведение под знак дифференциала

Вычисление неопределённых интегралов производится сведением исходных интегралов к табличным с помощью эквивалентных преобразований с использованием свойств неопределённых интегралов.

Иногда удается представить подынтегральное выражение в виде, где - некоторая функция от , то есть записать его в форме , и при этом интеграл является табличным. Тогда, если , то, по свойству 5 неопределённого интеграла, . Этот прием называется подведением под знак дифференциала и представляет собой простейший вариант использования формулы замены переменной, выраженной свойством 5. Для овладения этим приёмом необходимо устойчивое (доведённое до автоматизма) знание таблиц производных и дифференциалов и умение ими пользоваться в обе стороны, то есть не только уметь вычислять по исходной функции производную и дифференциал, но и по дифференциалу увидеть исходную функцию. Нам также понадобится свойство дифференциала

.

Пример.

С другой стороны,

Этот пример показывает, что у одной и той же функции может быть несколько разных первообразных, связанных между собой соотношением .

Займёмся более подробно указанным приёмом. Вначале приведём таблицу дифференциалов в необходимой нам форме.

< Предыдущая		Следующая >