17. Прямое произведение.

Прямое произведение

Оказывается прямое произведение коммутативно, т. е. , доказательство см. «Владимиров».

Сверткой двух обобщённых функций называется функционал

Свёртка существует не всегда, т. к. .

Теорема. Если свёртка существует, то существует свёртки и , причём

.

Отсюда в частности вытекает, что .

Отметим, что существование свёрток и не достаточно для существования свёртки , в частности эти свёртки не обязаны быть равными.

, но

Важнейшим приложением обобщённых функций является построение фундаментального решения дифференциального оператора.

в .

Здесь - целочисленный вектор с неотрицательными составляющими . Через порядка .

, , также используют следующие сокращённые обозначения.

Лемма. Для того чтобы обобщённая функция была решением оператора , необходимо и достаточно, чтобы её преобразование Фурье удовлетворяло уравнению.

.

Доказательство. Пусть фундаментальное решение оператора к обеим частям равенства, получим.

Таким образом доказанная лемма сводит задачу построения фундаментальных решений дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами к решению в алгебраических уравнений вида . Решение такой задачи может быть не единственно, например, различными решениями уравнения являются обобщённые функции и .

Если функция локально интегрируема в , то она (определяемый ею регулярный функционал) является решением в уравнения (9). Если же функция , то возникает нетривиальная задача о построении в решения уравнения . Хёрмандером доказано, что уравнение всегда разрешимо в .

С помощью фундаментального решения оператора можно построить решение уравнения с произвольной правой частью.

Теорема. Пусть такова, что свёртка существует в . Тогда решение уравнения существует и даётся формулой: .

Это решение единственно в классе тех обобщённых функций из , для которых существует свёртка.

Доказательство. Пользуясь формулой дифференцирования свёртки.

Докажем единственность, для этого достаточно установить, что соответствующее однородное уравнение .

Примеры.

1. Пусть функция такова, что и . Покажем, что , где обозначено

Действительно, если , то

Если же функция имеет изолированные разрывы первого рода в точках , тогда

.

2. Проверим, что функция , где есть решение однородного дифференциального уравнения

, удовлетворяющее условиям , , удовлетворяет условию

Действительно, пользуясь формулой полученной в предыдущем примере, получаем

Отсюда

В частности , являются фундаментальными решениями операторов и

Фундаментальное решение оператора теплопроводности.

Выведем формулу для фундаментального решения, используя преобразование Фурье.

В результате для обобщённой функции

Получаем уравнение

Пользуясь формулой из предыдущего примера

Отсюда применяя обратное преобразование Фурье.

< Предыдущая		Следующая >