13. Уравнение Эйлера

Исследуем на экстремум функционал .

Граничные точки допустимых кривых закреплены: Y(x0)=y0, y(x1)=y1.

Интегрируя по частям получим

Но , поэтому необходимое условие экстремума:

Основная лемма вариационного исчисления.

Если для каждой непрерывной функции h(X)

Где функция F(X) непрерывна на отрезке [X0,X1], то F(X)º0.

Доказательство. От противного. Если существует точка где F(X)¹0, то она в силу непрерывности сохраняет знак в некоторой окрестности этой точки, выберем h(X) так, чтобы она тоже сохраняла знак в этой окрестности, а в остальных точках равна нулю, тогда очевидно .

Применим лемму для упрощения необходимого условия

или

Замечание. Краевая задача

, Y(x0)=y0, y(x1)=y1.

Не всегда имеет решение, причём может иметь и не единственное решение.

Пример. На каких кривых может достигать экстремума функционал

Уравнение Эйлера имеет вид: Y”+y=0.

Y=C1Cosx+C2Sinx. Из граничных условий Y=sinx.

Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрирования уравнения Эйлера.

1. F Не зависит от Y’: Fy(x, y)=0 кривая не содержит элементов произвола и лишь в исключительных случаях удовлетворяет граничным условиям.

2. F Линейно зависит от Y’: F=M(x, y)+N(x, y)y’

Уравнение Эйлера:

Или

My-Nx=0.

Как и предыдущем случае кривая вообще говоря не удовлетворяет граничным условиям, если же My-Nxº0, то Mdx+Ndy - полный дифференциал и интеграл не зависит от пути интегрирования, то есть вариационная задача теряет смысл.

3. F Зависит лишь от Y’: F=F(y’), уравнение Эйлера Fyyy’’=0

Y=C1X+C2.

4. F Зависит лишь от X И Y’. уравнение Эйлера , может быть проинтегрировано Fy(x, y’)=C1

Полученное уравнение первого порядка не содержит Y, а следовательно может быть проинтегрировано, например с помощью введения параметра.

5. F Зависит лишь от Y И Y’.

Ур-е Эйлера Fy-Fyyy’-Fyyy’’=0, если домножить на Y’ свернётся в полную производную , интегрируя (F-y’Fy)=C1. Это уравнение не содержит X И может быть проинтегрировано методом разделения переменных или введения параметра.

< Предыдущая		Следующая >