1. Основные понятия теории функций комплексной переменной. Комплексные числа
Модуль комплексного числа 
Находится по формуле 
. 
- Действительная часть, 
- Мнимая часть. Для нахождения Аргумента 
(обозначение 
) рекомендуется поставить в соответствие комплексному числу в декартовой системе координат на плоскости точку с координатами 
, 
(см. рис. 1.1.1). Отсюда
- Тригонометрическая форма, 
- Показательная форма и Формула извлечения целого корня:
. (1.1.1)
Таким образом, корень 
- ой степени имеет различных значений, которые получаются подстановкой 
Пример 1.1.1. Найти все значения корня 
.
Решение. Находим модуль и аргумент комплексного числа 
: 
; 
. По формуле (1.1.1)
;
;
;
.
Ответ: 
; 
; 
; 
(см. рис. 1.1.2).
Сделаем важное замечание о том, что комплексные числа нельзя сравнивать. Действительно, два радиус-вектора, соответствующих изображению комплексных чисел на плоскости, можно только сравнить по длине, т. е. Комплексные числа сравнимы по модулю.
Пример 1.1.2. Изобразить на плоскости множество точек , для которых справедливо неравенство 
.
Решение. Вычисляем модули: 
, 
. Следовательно, комплексные числа удовлетворяют неравенству: 
. Строим окружности с центром в точке 
и радиусами 
И 
, соответственно. Множество точек , удовлетворяющих неравенству , изображается в виде кольца (см. рис. 1.1.3).
| Следующая > |
|---|
