31. Свойства равномерно сходящихся рядов

Свойства равномерно сходящихся рядов:
Теорема 14.1. (Непрерывность суммы) Пусть Uk(z)ÎС(g) и SUk(z)=>f(z), тогда F(z)ÎС(g).
Доказательство.

Uk(z)=>f(z) Þ одновременно выполнены неравенства

|F(Z+DZ)-Sn(Z+DZ)|< e/3 и |F(Z)-Sn(Z)|< e/3 для "e>0.

Uk(z)ÎС(g) Þ для "e>0 и "N $ d>0:

При |DZ|<d

Þ |DF|=|F(Z+DZ)-F(Z)|£

£|F(Z+DZ)-Sn(Z+DZ)|+|Sn(Z+DZ)-Sn(Z)|+|Sn(Z)-F(z)| £

£e/3+e/3+e/3=e для |DZ|<d, N>N.n

Примеры

1. Ряд из непрерывных функций сходится к разрывной функции, значит сходимость неравномерная

2. аналогично

Теорема 14.2. (Возможность почленного интегрирования). Пусть Uk(Z)ÎС(g) и SUk(z)=>f(z), G кусочно - гладкий контур GÌg конечной длины L. Тогда .

Доказательство

Uk(z)=>f(z) Þ

Для "e>0 $ N(e): | Rn(z) |<e/L для "n>N(e)

=£<=en

Замечание. Эти два свойства равномерно сходящихся рядов с комплексными членами совершенно аналогичны свойствам равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами.

Примеры.

1. Найти , если

2. Является ли непрерывной функция

3.

4.

5.

Теорема Вейерштрасса. Если Uk(z)ÎC¥(g) и SUk(z)=>f(z) в любой замкнутой подобласти области g то:

1. F(Z)ÎC¥(g).

2. , для "ZÎg.

3. "Z Î".

Доказательство
1. Рассмотрим произвольную Z0Îg и построим односвязную : Z0Î, в силу Теоремы 14.1 F(Z)ÎС(g).

Рассмотрим произвольный контур GÌ. По Теореме 14.2 .

Т. о. для F(z) выполнены все условия Теоремы Морера Þ f(Z)ÎC¥(). В силу произвольности f(Z)ÎC¥(g).

Замечание. Т. к. Rn(Z)=f(Z)-Sn(Z) Þ Rn(Z) ÎC¥(g).

2. Рассмотрим произвольную Z0Îg и произвольный контур GÌg. Обозначим .

для " zÎG, т. к.

По Теореме 14.2 это равенство можно проинтегрировать почленно

По Теореме 8.1.

.

В силу произвольности z0 утверждение 2 доказано.

Замечание. Rn(p)(z)=f(p)(z)-SN(p)(Z)=.

3. Рассмотрим " и G - замкнутый контур: ÌGÌg и "zÎ и "xÎG |Z-x|³d>0.

Rn(Z) ÎC¥(g) Þ для "zÎ .

Uk(z)=>f(z) Þ "e>0 $ N(e): , где L - длина G.

Тогда .

Т. о. получена равномерная оценка для остатка ряда для производных Þ .

Пример. Ряд Szk/k2 сходится равномерно в круге |z|£1, а ряд из производных Szk-1/k Не может равномерно сходится в этом круг, т. к. он расходится при z=1. Ряд Szk-1/k равномерно сходится при |z|<1.

Для равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами верна

Теорема 14.3. Пусть Uk(x) – непрерывно дифференцируемы на отрезке [A, b] и ряд, составленный из производных - равномерно сходится на отрезке [A, b], тогда если ряд сходится хотя бы в одной точке CÎ[A, b], то он равномерно сходится на всем отрезке [A, b], его сумма непрерывно дифференцируема и .

Доказательство.

Пусть (непрерывна в силу равномерной сходимости ряда).

Найдем первообразную

для . Ряд сходится по условию теоремы Þ тоже сходится на всем промежутке.

Левая часть равенства имеет производную по X Þ$S¢(X)=s(X) и

сходится равномерно, т. к. первый ряд справа сходится равномерно, а второй не зависит от X.

Примеры.

1. Равномерно сходящийся на всей действительной оси ряд дифференцировать нельзя, так как ряд из производных расходится, например при X=0.

2. (1+1+1+1+…)¢=0+0+0+0+… Ряд, полученный в результате формального дифференцирования, сходится и даже равномерно, но дифференцирование не правомерно, т. к. исходный ряд расходится.

3. почленное дифференцирование возможно в силу равномерной сходимости ряда из производных.

< Предыдущая		Следующая >