10. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости. . . 1. Вспомогательные положения

1) Кусочно-гладкая кривая-

{z: Z=z(t)=x(t)+iy(t), где T Î[A, b]}

X(t), y(t) Î C[A, b]; X'(t), y'(t) - кусочно - непрерывные на [A, b]; X'2(T)+Y'2(T) ¹0 - нет точек возврата, нет самопересечений.

Если X(a)=x(b), y(a)=y(b), то кривая замкнута.

Z0, Z1,…, ZN – точки разбиения кривой C

DZi=Zi-zi-1

- Частичная сумма

- произвольная точка I-ой дуги.

Определение. Если при существует предел частичных сумм, не зависящий ни от способа разбиения кривой C, ни от выбора точек , то этот предел называется и Интегралом От функции комплексной переменной F(z)=u(x, y)+iv(x, y) по кривой C

F(z) DZ = [U(x, y)+iv(x, y)] (DX+iDY)= uDX-vDY +i [ vDX+uDY]

Действительная и мнимая части есть интегральные суммы криволинейных действительных интегралов второго рода

и .

Замечания.
1) Достаточное условие существования криволинейных интегралов второго рода, а тем самым и интеграла по комплексной переменной, является кусочная непрерывность и ограниченность |f(z)|. => Интеграл по комплексной переменной существует и для неаналитической функции.

2) +I. Это соотношение иногда принимают за определение интеграла по комплексной переменной.