04. Понятие функции комплексной переменной

1. Определение функции, понятие области.

Определение. Пусть на комплексной плоскости задано множество E и закон, ставящий " ZÎ E в соответствие определенное комплексное число W: ZÞW, тогда говорят, что на E задана Функция комплексной переменной F(z)=w. E-Множество задания F(z);

Множество M - значений соответствующих W- Множество значений F(z).

Определение. Областью G комплексной плоскости Z называется открытое связное множество точек:

1) Все точки области внутренние: " ZÎg $e(Z) Ì g

2) " z1, Z2 Î g можно соединить кривой все точкой которой ZÎ g.

Примеры. а) |Z|<1 - область; б) |Z|1-не область; в) {Z: |Z|<1}È {Z: |Z-5I|<1} не область;

Определение. Точка Z0 называется Граничной точкой множества g, если в " ее e - окрестности имеются как ZÎ g, так и ZÏ g.

Примеры: а) Z=0 - граничная точка множества |z|>0; б) Z=i - граничная точка множества |z|1.

Совокупность Граничных Точек области g называется Границей области g.

(обозначения: ¶g, C, G, S и т. д.)

Определение. Замыкание области , состоящее в присоединении к g ее границы называется Замкнутой областью =g+¶g.

Определение. Расширенная комплексная плоскость = комплексная плоскость вместе с ее границей бесконечно удаленной точкой.

Определение. Если Z1, Z2 Î g и Z1¹Z2: f(z1)=w1¹W2= f(z2), то отображение Взаимно однозначное G<=>D.

В этом случае g называется Областью однолистности F(z) или F(z) называется Однолистной в g. => Функция обратная к однолистной – однозначная.

При g<=>D в D $ Обратная функция Z=j(W), осуществляющая отображение D® g.

Z=x+iy f(z)=w=u+iv=u(x, y)+iv(x, y)

Примеры функций комплексного переменного.

А) W=Az+b, A¹0

Функция определена на расширенной комплексной плоскости, однозначная и однолистная. Она осуществляет поворот, растяжение (умножение) и параллельный перенос (сложение).

б) w=1/Z. Функция определена на расширенной комплексной плоскости, однозначная и однолистная. Если , то . => Функция есть совокупность двух отображений 1) смена знака у аргумента (симметричное отражение относительно вещественной оси) и 2) замена модуля комплексного числа на обратную ему величину (инверсия относительно единичного круга).

В) W=z2. Однозначная функция комплексного переменного. Если , то .=> Все точки Z Комплексной плоскости, лежащие на луче, составляющем угол j с положительным направлением действительной оси, переходят в точки W, лежащие на луче, составляющем угол 2j с той же осью. Поэтому точкам Z и –Z, аргументы которых отличаются на p, переходят в одну и ту же точку.=> Обратная функция многозначна. Функция W=z2 отображает верхнюю полуплоскость на всю комплексную плоскость.=> - область однолистности функции.

г) . Функция определена на расширенной комплексной плоскости, но не является однозначной. Каждому значению Z= reI(J +2p k) , отличному от 0 и ¥, соответствует два различных значения и (одно в верхней и другое симметричное ему в нижней полуплоскости). Первая ветвь корня отображает полную комплексную плоскость на верхнюю полуплоскость, а вторая – на нижнюю. Точки Z=0 и Z=¥ (они отображаются однозначно в данном случае сами в себя) называются Точками ветвления.

< Предыдущая		Следующая >