01. Комплексные числа и действия над ними

Определение. Комплексным числом называется пара действительных чисел с установленным порядком следования Z=(a, b),

A=Re(z)- Действительная часть комплексного числа,

B=Im(z)- Мнимая часть.

Действительные числа включаются в множество комплексных чисел.

Примеры: A=(A,0) - вещественное число, (0,B) - чисто мнимое число,

(0,1)=I - мнимая единица.

0=(0,0), -1=(-1,0), -I=(0,-1).

Комплексные числа можно изображать точками на комплексной плоскости.

Действия с комплексными числами:

1) Равенство. Z1=Z2 Û A1=A2, B1=B2.

Операция сравнения Не определена!!!

2) Сложение. Z1+Z2=(A1+A2,B1+B2)

(A,0)+(0,B)=(A,B) – всякое комплексное однозначно разлагается на сумму чисто действительного и чисто мнимого чисел.

3) Умножение. .

B·I=(B,0)·(0,1)=(0,B).

Þ алгебраическая форма записи комплексного числа

Z =(A,0)+(0,B)= A + Ib = Re(Z) + I·Im(Z).

Пример: I·I=-1

Þ алгебраические операции с комплексными числами можно совершать, как с обычными многочленами, помня, что I2=-1.

Договоримся, всякий ответ доводить до алгебраической формы записи комплексного числа, если не оговорено обратное.

4) Комплексное сопряжение.

Z=(A, B)=A + Ib; Z* = (A, -B) = A - Ib.

Полезно: Re(Z) = ( Z + Z* ) / 2; Im(Z) = (Z - Z* ) / 2I.

Некоторые свойства.

A) (Z1 ± Z2)*= Z1* ± Z2*;

B) (Z*)* = Z;

C) z· z* = (A + Ib)(A - Ib) = A2 + B2ÎReal

Обратные операции.

5) Вычитание. Z1 - Z2 = (A1 - A2, B1 - B2).

6) Деление

Примеры. (2+I)/(1+2I)= (2+I)(1-2I)/(1+4)=0.8-0.6I;

1/I = -I.

7) Возведение в целую степень.

Примеры:

a) I2 = -1;

б)
В) Z2 = (A+Ib)2 = A2 + 2Iab - B2 = (A2 - B2) + I 2Ab Þ ; Re(Z2)=(A2- B2), Im(Z2) = 2Ab.

Следующая >