21. Приложение вычетов к вычислению некоторых “действительных” интегралов

1. Если рациональная функция не имеет полюсов на вещественной оси и степень знаменателя , по крайней мере, на две единицы выше степени числителя , то

, (7.7)

Где - нули , лежащие в верхней полуплоскости ().

2. Пусть , если положить . Тогда

, (7.8)

Где Есть сумма вычетов функции Относительно полюсов, заключенных внутри окружности .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция – четная, поэтому

.

Для функции : , – многочлены второй и четвертой степени и . Нули функции и лежат вне вещественной оси, причем в верхней полуплоскости лежит лишь нуль . Условия теоремы (7.7) выполнены для данной функции, и, следовательно, и .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Применяя подстановку , получим после преобразований
.

Внутри единичного круга при условии Находится только один полюс (двукратный) . Вычет функции относительно этого полюса = и .

Задачи для самостоятельного решения

В нижеследующих задачах требуется найти вычеты указанных функций относительно ее конечных изолированных особых точек.

154. ; 155. ; 156. ;

157. ; 158. ; 159. ;

160. ; 161. ; 162. .

Вычислить контурные интегралы:

163. , ; 164. , ;

165. , ; 166. , ;

167. , ; 168. , .

169., ; 170. , ;

171. , ; 172. , .

Вычислить действительные интегралы:

173. ; 174. ;

175. ; 176. ; 177. , .

178. , ; 179. , ;

180. , .

Яндекс.Метрика