17. Нули функции. Изолированные особые точки. Нули аналитической функции

Определение. Точка называется нулем аналитической функции порядка (или кратности) N, если , . В случае точка называется простым нулем.

Теорема. Для того, чтобы точка была нулем N – го порядка функции , аналитической в точке , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой ок рестности этой точки имело место равенство , где аналитична в точке и .

Пример 1. Найти нули функции и определить их порядки.

Решение. Из уравнения находим точки - нули данной функции. Имеем: , , то есть точки - нули

второго порядка данной функции.

Пример 2. Найти нули функции и определить их порядки.

Решение. Полагая , получим, что или . Решая эти уравнения, находим нули функции : , . Пусть ; тогда можно представить в виде , где функция является аналитической в точке , причем . Это означает, что точка есть нуль третьего порядка. Аналогично доказывается, что и точка является нулем третьего порядка. Исследуем нули , . Производная + в точках отлична от нуля. Следовательно, - простые нули функции .

Яндекс.Метрика