10. Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Если функция Аналитична в точке и , то равен коэффициенту растяжения в точке при отображении плоскости (Z) на плоскость (w). Аргумент производной геометрически равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке к любой гладкой кривой на плоскости (Z), проходящей через точку , чтобы получить направление касательной в точке .

Пример. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении в точке .

Решение. Имеем , так что . Перейдя от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, получим:, то есть , угол поворота .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

52. Пользуясь условиями Коши-Римана, выяснить, какие из следующих функций являются аналитическими, хотя бы в одной точке, какие - нет.
а) ; б) ; в) ; г) ; д);
е) ; ж) ; з) ; и) ; к) .

53. Показать, что в области - аналитическая функция.

54. Показать, что условия Коши-Римана в полярных координатах имеют вид ; . Проверить выполнение этих условий для функций
а) ; б) .

55. Доказать, что если и - аналитические в области D функции, то функции , также аналитичны в области D, а частное -аналитическая функция во всех точках области D, в которых . При этом имеют место формулы ; ; .

56. Используя утверждение задачи 4, найти области аналитичности функций и их производные: а) ; б) ; в) ;
г); д) ; е) ; ж) ;
з).

57. Показать, что нижеследующие функции являются гармоническими:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) .

58. В следующих примерах даны пары , гармонических функций. Найти среди них сопряженные пары гармонических функций: а) , ; б) , ; в) , ; г) , .

59. Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указанных областях и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части: а) , , ; б) , ; в) , , ; г) ,; д) , , ; е) , , ;
ж) , ; з) , ; и) , , ; к) , , .