5.1. Математическое ожидание. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые Числовые параметры, выражающие наиболее характерные свойства (черты) закона распределения случайной величины. Такие числа носят название Числовых характеристик случайной величины.

Математическим ожиданием (или средним значением) (или ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности этих значений.

Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений , то ее математическое ожидание находится по формуле

(3)

Если же дискретная случайная величина X принимает бесконечное (счетное) число значений, то

, (4)

При этом математическое ожидание существует, если ряд в правой части этой формулы абсолютно сходится, т. е. сходится ряд .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности , находится по формуле

, (5)

При этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части равенства абсолютно сходится (это значит, что сходится интеграл ).

Дисперсией (рассеянием) (или ) случайной величины Называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Из определения вытекает часто используемая формула:

.

Если - Дискретная случайная величина, то ее дисперсия вычисляется по формуле:

, (т. е. ) (6)

В случае конечного числа значений, принимаемых случайной величиной X, и по формуле

, (т. е. ) (7)

В случае счетного числа значений.

Если X - непрерывная случайная величина С Плотностью , то

(или ). (8)

Средним квадратическим отклонением Случайной величины Называется величина .

Среднее квадратическое отклонение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

Яндекс.Метрика